Криволинейные интегралы I-го рода

1)..

2). =

= = ……. Получившийся интеграл – эллиптический интеграл и не выражается через элементарные функции. Его значение может быть найдено численными методами, например, методом прямоугольников, трапеций или Симпсона (они будут рассмотрены позже). Также его значение может быть найдено в справочниках по специальным функциям (например, М. Абрамовиц, И. Стиган).

Для кривой определим .

Так определенный интеграл называется криволинейным интегралом первого рода.

Физический смысл криволинейного интеграла первого рода – если функция определяет линейную плотность масс на кривой, то определяет массу кривой.

Свойства криволинейного интеграла:

1. Определение интеграла корректно, т. е. не зависит от способа параметризации;

2. Интеграл не зависит от ориентации, т.е. при изменении направления обхода дуги интеграл не изменяется;

3. Интеграл линеен, т.е. интеграл от линейной комбинации функций равен линейной комбинации интегралов от этих функций.;

4. Интеграл есть аддитивная функция дуги кривой, т.е. интеграл по всей дуге равен сумме интегралов по ее отдельным частям;

5. Интеграл от единицы численно равен длине кривой;

6. Интеграл монотонен, т. е. интеграл от неотрицательной функции неотрицателен.

§. Вычисление площадей поверхностей вращения.

Дата добавления: 2014-01-11