От знакопостоянных функций. Мажорантный признак

ПризнакИ сравнения сходимости интегралов

а). Мажорантный признак.

Пусть . Тогда:

*. Если сходится интеграл , то сходится и интеграл ;

*. Если расходится интеграл , то расходится и интеграл .

D Пусть . Тогда (из свойств определенного интеграла). Перейдем к точной верхней границе для в правой и левой части неравенства:

. ▲

б). Асимптотическая форма мажорантного признака. Если из двух неотрицательных функций собственно интегрируемым по всем замкнутым промежуткам и одна ограничивает другую в окрестности особой точки: при , то

*. Если сходится, то и сходится;

*. Если расходится, то и расходится.

D Пусть в окрестности точки выполнено . Тогда и ограничена при . Значит . Значит:

Þ сходится Þ также сходится. ▲

в). Предельная форма мажорантного признака.

Если отношение двух неотрицательных функций, собственно интегрируемых на любом замкнутом промежутке , имеет конечный предел в особой точке, то два интеграла сходятся или расходятся одновременно.

Т.е. если , то из сходимости Þ сходимость , и из расходимости Þ расходимость . Если же , то

сходимость Û сходимости .

г). Асимптотический признак одновременной сходимости – расходимости несобственных интегралов.

и с – одного порядка при . Тогда интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

D с – одного порядка при Þ . ▲

д). Предельная форма признака одновременной сходимости – расходимости интегралов.

Если и , тогда и сходятся или расходятся одновременно.

Дата добавления: 2014-01-11