Примеры. 1°. .При . Интеграл от мажорирующей функции сходится, следовательно исходный интеграл также сходится

1°. . При . Интеграл от мажорирующей функции сходится, следовательно исходный интеграл также сходится.

2°. ,а такой интегрална расходится.

3°. . Вывод: исходный интеграл сходится при и расходится при.

4°. . Вывод: исходный интеграл сходится при и расходится при.

5°. . Особая точка . При и, следовательно, исходный интеграл сходится (см. 3°).

§. Условная сходимость.

Def: Если – сходится, но - расходится, то называется сходящимся условно.

Пример. Условно сходящиеся интегралы существуют. Рассмотрим . Особая точка у этого интеграла только . Точка особой точкой не является, т.к. подынтегральная функция в окрестности этой точки ограничена.

*. При после интегрирование по частям, получаем .

Интеграл, стоящий справа сходится, даже абсолютно т.к.. Однако не забывая о том, что абсолютная сходимость не инвариантна относительно интегрирования по частям, можем утверждать только, что исходный интеграл сходится.

*. Исследуем интеграл на на абсолютную сходимость.

. Первый из интегралов в правой части неравенства расходится, а второй сходится. Из этого можно заключить, что исходный интеграл является сходящимся но, при этом, не сходится абсолютно. Следовательно, интеграл является условно сходящимся интегралом.

Дата добавления: 2014-01-11