Интеграла, на бесконечности

Поведение функции, стоящей под знаком сходящегося

Замечание: Убывание подынтегральной функции ее стремление к нулю не является необходимым условием сходимости интеграла на бесконечности.

Пример. 1°. Рассмотрим .

Особые точки: .

а). x = 0. – интеграл сходится "l по признаку сравнения.

b). x = +¥. Сходится, вообще говоря (в.г.), условно по признаку Дирихле ибо – монотонно стремится к нулю, а функция имеет ограниченную первообразную.

c). x = 1. Тоже применим мажорантный признак: , т.е. сходится абсолютно при . Таким образом, исходный интеграл сходится в.г. условно для .

Строго монотонная замена приводит к выводу о том, что также сходится условно при , хотя его подынтегральная функция для неограниченна.

Происходит это за счет взаимного погашения площадей (см.Рис.).

Чтобы не создавалось впечатление, что сходимость появляется только за счет взаимного погашения площадей, приведем другой пример.

2°. Построим функцию , которая равна нулю при всех положительных значениях аргумента, кроме промежутков , где она равна единице.

Тогда, интеграл есть площадь и . Таким образом, неотрицательная функция на бесконечности не стремится к нулю и, тем не менее, интеграл от нее сходится.

Можно на этой идее построить и f (x) которая будет неограниченной, а интеграл будет сходиться.

Таким образом, сходимость не означает, что f (x) ® 0 при x ® ¥.

Но...

Т°. Если существует и конечен, то в случае сходимости интеграла на бесконечности

этот предел необходимо равен нулю.

Более того, если существует и конечен, то он также равен нулю.

Дата добавления: 2014-01-11