Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Главное значение интеграла по Коши




Интегралы Фрулани.

Пусть функция таких, что и .

Рассмотрим интеграл: . Интегралы такого типа называются интегралами Фрулани. Для них:

= . Тогда:

= = = =

= = = .

И, следовательно = = .

 

Выполняя предельный переход при и получаем:

.

Примеры:

1) .

2)

 

 

Рассматривается промежуток [ a, b ]. Пусть и при.

Тогда:

· Если оба предела существуют и конечны, то интеграл сходится.

· Если один из пределов существует и конечен, а другой равен бесконечности, то интеграл расходится.

· Если оба предела есть ¥, то интеграл расходится, но…

 

Рассмотрим Полученное значение, если оно существует и конечно, называется главным значением интеграла (principal value). И говорят, что расходящийся интеграл сходится в смысле главного значения.

Пример:

.

 

 

РАЗДЕЛ 4. Численное интегрирование

 

§. Формулы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона)

 
 

Задача 1. Получить формулы приближенного вычисления:

а) Заменим f (x) для x Î[–a, a] постоянной величиной по значению равной значению f (x) в средней точке. Тогда .

б) Заменим f (x) для x Î[–a, a] многочленом первой степени, который на концах промежутка совпадает со значениями интегрируемой функции. Тогда .

в) Заменим f (x) для x Î[–a, a] многочленом второй степени, совпадающим с интегрируемой функцией на концах и в середине промежутка интегрирования:

Ищем ½ .

Т.е. ;

И получаем: .

.

Задача 2. Получить формулы для вычисления .

Разобьем промежуток интегрирования на n

равных частей, точками х 0, х 1, х 2, …, хn. Обозначим уk = f (xk), k = 0, 1, 2, …, n; . На каждом отдельном промежутке воспользуемся полученными выше формулами для S 1, S 2, S 3 и просуммируем по всем промежуткам. Получим:

;

;

.

Полученные формулы носят название формул:

а) прямоугольников; б) трапеций; в) парабол (Симпсона).

Эти формулы, естественно, являются приближенными и, возникает вопрос: каким должно быть выбрано n, чтобы обеспечить необходимую точность вычисленного значения интеграла?

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 1332; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.