Формула Стирлинга

Запишем разложения: и , а после этого, вычтем из первого разложения второго:

.

Положим в этой формуле . Тогда: и, следовательно:

Þ

Þ . И, очевидно, .

Оценка сверху для дает следующее: = =

= = = = .

Из оценок для , получаем: и, потенцируя:

. (*)

Теперь рассмотрим последовательность: .

.

учитывая (*), получаем: .

Таким образом: и .

Последовательность возрастающая и ограничена сверху . Значит и

Þ Þ , т.е. Þ

.

Для нахождения величины a воспользуемся формулой Валлиса:

.

= = = = ….

Подставляя вместо , полученное для него выражение, получаем .

Тогда: . Это и есть формула Стирлинга.

РАЗДЕЛ 7. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ.

§. Гамма – функция Г(z).

Def: .

1*. Прежде всего отметим что функция не определена при . Кроме того, если то в бесконечном произведении найдется член для которого обращается в ноль и, следовательно, бесконечное произведение не определено.

Для изучения сходимости рассмотрим сходимость ряда: .

Для него

– .

Из сказанного ясно, что ряд, а вместе с ним и бесконечное произведение, сходятся абсолютно, при .

2*. . В самом деле:

=

= .

3*. Формула понижения: .

=

= .

Тогда: . Гамма-функция является, в некотором смысле, расширением понятия факториала на не целые значения аргумента.

4*. Формула дополнения: .

=

= =

= = ….

Полагая , получим и учитывая, что: получим

….= .

Из доказанной формулы дополнения :

• при следует, что: .

• при получаем, что: Þ . И, следовательно:

; .

5*. Формула удвоения: .

6*. Формула умножения: .

7*. Формула Лежандра (Эйлеров интеграл II - рода): .

8*. Бета-функция (Эйлеров интеграл I – рода): .

Дата добавления: 2014-01-11