КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Производные высших порядков. Определение производной более высокого порядка, чем первый, можно дать индуктивноОпределение производной более высокого порядка, чем первый, можно дать индуктивно. Обозначения для высших производных: . Пример: 10. Найти частные производные первого и второго порядка функции . Производные первого порядка: ; ; . Производные второго порядка: ; ; ; ; ; ; ; ; . Производные называются вторыми одноименными производными. Обозначение обозначает, что от функции производная бралась вначале по , а затем по , а при нахождении наоборот, вначале по , а затем по . Обратим внимание на совпадения соответствующих вторых смешанных производных: . Возникает вопрос: случайно ли это совпадение?
20. Рассмотрим функцию, заданную соотношениями: и . Функция непрерывна в (0,0) т.к. и, следовательно, .
а) Þ . б) Þ .
в) . Если в положить х = 0, получим, Þ в (0,0). г) . Полагая y = 0, получим, Þ в (0,0). Получили, что в точке (0,0). Смешанные производные в точке (0,0) не совпадают. Итак, вторые смешанные производные не всегда совпадают. А когда?
Т°. Пусть определена в открытой области и в этой области, существуют , а также и, наконец, непрерывны в некоторой точке . Тогда: . Δ. Рассмотрим . а). Введем вспомогательную функцию . Эта функция дифференцируема: и, следовательно, непрерывна. Учитывая это, получим: = = =… Дважды применим формулу конечных приращений: …= = .
б) Введем . Тогда аналогично получаем, что . Устремим и воспользовавшись непрерывностью в точке получаем: . ▲
В общем случае: Т0. Пусть определена в открытой области евклидового пространства Еn и имеет в этой области всевозможные частные производные до (n -1)го порядка включительно и смешанные производные n го порядка, причем все производные непрерывны в области . Тогда значение любой n й смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производится дифференцирование. Δ▲.
Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 470; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |