Примеры вычисления производных от неявных функций 10 . Задано равенство: ln(x 2 + y 2 ) = arctg . Определяет ли это равенство функцию , и, если – да, то найти .
Определим F (x , y ) = ln (x 2 + y 2 ) – arctg = 0. Для нее якобиан J = существует везде кроме (0, 0), и точек, в которых и равен:
J = = = – = ¹ 0.
Дифференцируем функцию F (x , y ) по x , считая y функцией .
= = 0;
Тогда: Þ (существует если x ¹ 2 y ).
Если уравнение ещё раз продифференцировать по x , то получим:
Þ Þ
Þ , если .
20 . Исследовать на экстремум функцию y = y (x ), заданную уравнением:
x 3 + y 3 – 3 xy = 0.
Дифференцируем равенство по x , считая что, при этом y = y(x ): . – необходимое условие экстремума Þ .
а. x = 0; y = 0. б. x = ; y = .
В точке (0,0) j = = 3 y 2 – 3 x = 0 и, поэтому мы не можем утверждать, что исходное уравнение определяет y как функцию от x .
В точке x = , y = найдем .
Þ Þ дифференцируем Þ
.
В стационарной точке , поэтому Þ = .
Значит, в точке ( , ) – функция y = y (x ) имеет максимум.
Дата добавления: 2014-01-11 ; Просмотров: 432 ; Нарушение авторских прав? ; Мы поможем в написании вашей работы!
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет