Задачи относящиеся к прямым в пространстве

Пусть заданы две прямые в пространстве

1.Взаимное расположение двух прямых:

а) условие перпендикулярности прямых:

m₁m₂+n₁n₂+p₁p₂=0 (1.3.14)

б) условие параллельности прямых:

2.Угол между прямыми:

3. Расстояние от точки М (x₁,y₁,z₁) до прямой

а векторное произведение вычисляется по формуле (1.2.10).

4. Условие пересечения прямых. Прямые задаются уравнениями (1.3.13). Рассмотрим смешанное произведение a₁ a₂ M₁M₂, a₁ ≠ λa₂

Если a₁ a₂ M₁M₂ = 0 (1.3.18)

то прямые пересекаются, если

a₁ a₂ M₁M₂ ≠ 0 (1.3.19)

то прямые скрещиваются. Смешанное произведение векторов вычисляется по формуле (1.2.11).

5. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Прямые заданы уравнениями (1.3.13). Если a₁ a₂ M₁M₂ ≠ 0 то расстояние d между прямыми вычисляется по формуле

Пример 1.3.8.Исследовать взаимное расположение прямых

Первая прямая проходит через точку M₁(1,-1,-2), a вторая прямая через точку М₂(2,1,1). Направляющие векторы прямых a₁ (2,3,4) и a₂ (3,-1,1).

Вычислим смешанное произведение a₁ a₂ M₁M₂

Так как выполняется условие (1.3.19), то прямые скрещиваются.

Пример 1.3.9.Вычислить расстояние между скрещивающимися прямыми примера 1.3.8. Используем формулу (1.3.20).

Дата добавления: 2014-01-11