КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Определение предела функции в точке
Опр.4.4.1. Пусть а - предельная точка области определения Х функции f (x). Число b называется пределом функции при х, стремящемся к а, если для любого числа e>0 существует такое число d (вообще говоря, положительное и зависящее от e), что если х Î Х принадлежит также проколотой d-окрестности точки а, то значение функции f (x) принадлежит e-окрестности числа b. Обозначения: ; f (x)® b при x ® а; . Краткая форма записи: . Неравенство расписывается в виде двустороннего неравенства как или . Аналогично неравенство можно расписать как . Поэтому смысл определения предела таков: , если для любой наперед заданной степени близости значений f (x) к числу b мы в состоянии найти такую близость аргумента х к числу а, которая обеспечивает эту близость f (x) к b. Заметим, что в определении никак не участвует значение f (а) функции f (x) в точке а, в частности, f (а) не обязательно должно быть равным b; более того, f (x) может быть вообще не определена в точке а. Рассмотрим два простых примера. Докажем, что 1. ; 2. (дальше мы увидим, что предел любой элементарной функции при стремлении х к любой точке области определения этой функции равен значению функции в предельной точке). 1. Возьмём "e>0. Требуется найти такое d>0, что 0<| x -2 |<dÞ| x 2-4 |<e, т.е. | (x -2)(x +2) |<e. Договоримся сразу брать d<1, тогда из | x -2 |<dÞ2-d< x <2+dÞ x <3Þ x +2<5. Неравенство | (x -2)(x +2) |<e будет обеспечено, если . Таким образом, если в качестве d взять , то при | x -2 |<d(e) получим | x +2|<5Þ| (x -2)(x +2) |=| x -2 || x +2 |<*5=e, что и требовалось. 2. Возьмём "e>0. Требуется найти такое d>0, что 0<| x -p/6 |<dÞ| sin x -1/2 |<e~ | sin x - sin(p/6)|<e ~<e.Так как , |sin a|<|a| при a¹0, то требуемое неравенство будет выполнено, если взять d(e)=e (Тогда из <| x -p/6 |<d=eÞ ; , что и требовалось.
3. Более сложный пример-функция Дирихле В любой окрестности любого вещественного числа а имеются и рациональные, и иррациональные точки, обеспечить одновременное выполнение неравенств | b -1 |<e и | b -0 |<e при e<1/2 невозможно ни при каком значении b, следовательно, функция Дирихле не имеет предела ни при каком стремлении аргумента. Рассмотрим ещё одно определение предела, эквивалентное предыдущему. Опр.4.4.2. Пусть { xn | xn Î X, xn ¹ a } - последовательность точек области определения функции f (x), сходящаяся к точке а. Если для любой такой последовательности { xn } последовательность значений функции { f (xn)} сходится к числу b, то b называется пределом f (x) при x ® а. (В МГТУ опр.3.4.1 принято называть определением Коши, опр.3.4.2 - определением Гейне). Докажем эквивалентность определений 4.4.1 и 4.4.2. Утв.1. Если в смысле опр. 4.4.1, то число b - предел f (x) при x ® а и в смысле опр. 4.4.2. Док-во. Пусть { xn } сходится к а, требуется доказать, что { f (xn)} сходится к b, т.е. что для "e>0 $ N: n > N Þ | f (xn)- b |<e (в предположении, что выполняются условия опр. 4.4.1). Возьмём "e>0. $d: 0<| x - a |<d Þ | f (x)- b |<e. Так как xn ® а при n ®µ, то $ N: n > N Þ | xn - a |<dÞ | f (xn)- b |<e. Нужное N найдено. Утв.2. Если в смысле опр. 4.4.2, то число b - предел f (x) при x ® а и в смысле опр. 4.4.1. Док-во от противного. Мы предположим, что требования опр. 4.4.1 не выполняются, и построим последовательность { xn }, сходящуюся к а, для которой { f (xn)} не сходится к b. Если требования опр. 4.4.1 не выполняются, то $e>0, для которого в любой проколотой d-окрестности точки а найдётся точка x, в которой | f (x)- b |>e. Возьмём d1=1. $ x 1¹ а: 0<| x 1- a |<d1, но | f (x 1)- b |>e. Возьмём d 2 <min{1/2, | x 1- a |}. $ x2: 0<| x 2- a |<d 2, но | f (x 2)- b |>e. Возьмём d 3 <min{1/3, | x 2- a |}. $ x 3: 0<| x 3- a |<d 3, но | f (x 3)- b |>e. Вообще на n -ом шаге возьмём d n <min{1/ n, | xn -1- a |}. $ xn: 0<| xn - a |<d n, но | f (xn)- b |>e, и т.д. Мы получили, что xn ® а при n ®µ (так как
| xn - a |<1/ n), но | f (xn)- b |>e, т.е. { f (xn)} не сходится к b. Противоречие получено. Рассмотрим ещё два примера. 4. (график этой функции приведен слева; х ¹0). Докажем, что эта функция не имеет предела при х ®0. В каждой точке последовательности f (xn)=0, в каждой точке последовательности f (xn)=1, разные последовательности дают разные пределыÞне существует. 5. Функция Римана Как следует из графика, приведённого на стр.17, в любой e-окрестности точки при e<содержится не более чем конечное число значений функции, т.е. при рациональном значении аргумента х = а не существует. Если х = а иррационально, то вне любой e-полосы | x |<e лежит не более чем конечное число точек графика, т.е. .
Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 342; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |