Отношения между элементами множества. Свойства отношений

Операции над множествами

Результатом операций над множествами всегда является множество.

1. Пересечением множеств А и В называется такое множество, которое состоит из элементов, принадлежащих множеству А и принадлежащих множеству В (т.е. их общих элементов). Например:

а) А={1, 2, 3}, В={2, 4, 6},

А Ç В ={2}.

б) А={1, 2}, В={3, 4}, А Ç В= Æ.

в) А={1, 2}, В={1, 2, 3},

А Ç В ={1, 2}=А.

г) если А = В, то А Ç В=А=В.

2. Объединением множеств А и В называют такое множество, в которое входят элементы множества А или множества В (т.е. все элементы А и все элементы В). Например:

а) А={1, 2, 3}, В={2, 4, 6},

А È В={1, 2, 3, 4, 6}

б) А={1, 2}, В={3, 4},

А È В={1, 2, 3, 4}.

в) А={1, 2}, В={1, 2, 3},

А È В={1, 2, 3}.

г) если А = В, то А È В=А=В.

3. Разностью множеств В и А называют множество, которому принадлежат все те элементы множества В, которые не принадлежат А. Например:

а) А={1, 2, 3}, В={2, 4, 6},

В\ А={4, 6}.

б) А={1, 2}, В={3, 4};

В\ А={3, 4}.

в) А={1, 2, 3}, В={1, 2};

В \ А= Ǿ.

с) если А=В, то В\ А= Ǿ.

4. В случае, когда А Ì В, можно рассмотреть частный случай разности множества В и А. Дополнением множества А до множества В называется такое множество, которому принадлежат все те элементы множества В, которые не принадлежат А.

5. Декартовым произведением множества А на множество В называется множество всевозможных пар, первый элемент которых принадлежит множеству А, а второй - множеству В.

А х В = {(а, в), а Î А, в Î В}.

Пара – упорядоченное множество, состоящее из двух элементов.

А={1, 2}, В={3, 4}, А х В= {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}.

Свойство переместительности.

Для операций пересечения и объединения выполняется свойство переместительности, т.е.

А Ç В = В Ç А; АÈВ = В È А. (На картинке заштрихованные разными цветами области совпадают).

Для операций разности и декартового произведения свойство переместительности не выполняется.

А\ В ¹ В\ А. Пусть А={1, 2, 3}, В={2, 4, 6},

тогда В\ А={4, 6}, а А\ В={1, 3}.

А х В ¹ В х А. Пусть А={а, о}, В={н, м},

тогда АхВ={ан, ам, он, ом}, а ВхА={но, на, мо, ма}.

Примеры отношений:

– между числами: =, >, <

– между прямыми в пространстве: ||, ^.

– пространственные отношения между предметами: слева, справа, далеко, близко;

– родственные отношения между людьми: быть братом.

Рассмотрим определение отношения на примере. Зададим отношение «Город а стоит на реке в». Для этого зададим следующие множества: А – множество городов, А= {Б, К, Г}; В – множество рек, В = {М, Д, С}.

Найдем декартово произведение множества А на В.

А ´ В = {(Б,М); (Б,Д); (Б,С); (К, М); (К, Д); (К,С); (Г, М); (Г,Д); (Г,С)}.

Теперь найдем такое подмножество декартового произведения, где на первом месте в паре стоит горд, а на втором – река, на которой этот город расположен.

Р = { (Б; М); (К; Д); (Г,С) }, Р Ì А ´ В.

Для того, чтобы задать отношение между городами и реками «Город а стоит на реке в» необходимо задать 3 множества: множество городов, множество рек и подмножество декартового произведения А на В.

Другие примеры: сетка занятий в д/с; график дежурств.

Определение: Говорят, что между элементами множеств А и В задано отношение a, если заданы 3 множества А, В, Р Ì А ´ В.

Способы задания отношений

1) Путем перечисления всех элементов отношения (т.е. всех пар).

Рассмотрим множество А = {1, 2, 3, 4}. Зададим отношение «<». Первый элемент в парах должен быть меньше второго. Р = {(1;2), (1;3), (1;4), (2;3), (2;4), (3;4) }.

2) Путем задания характеристического свойства. Характеристическое свойство имеет вид предложения с 2-мя неизвестными. «Число х меньше числа у»

3)С помощью графа. Граф – это изображение элементов множества на плоскости с помощью точек и изображение отношений между элементами множеств с помощью стрелок.

4) С помощью графика в декартовой системе координат, где 1-ый элемент - абсциссы, 2-ой – ординаты.

Свойства отношений.

Свойство рефлексивности. Отношение a на множестве Х называется рефлексивным, если каждый элемент х из множества Х находится в отношении a с самим собой, т.е. х a х.

Например: В качестве Х рассмотрим множество фигур. В качестве отношения a рассмотрим отношение «быть одинаковым по форме». Каждая фигура одинакова по форме сама с собой - это утверждение истинно. Значит отношение «быть одинаковым по форме» на множестве всех фигур является рефлексивным.

1) Свойство антирефлексивности. Отношение a на множестве Х называется антирефлексивным, если каждый элемент х из множества Х не находятся в отношении a с самим собой, х a х.

«Каждое число не меньше самого себя». Утверждение истинное. Следовательно, отношение «меньше» на множестве чисел является антирефлексивным.

2) Свойство симметричности. Отношение a на множестве х называется симметричным, если для любых элементов х, у из множества Х справедливо: если х находится в отношении a с у, то у находится в отношении a с х т.е. если х a у, то у a х.

Например: Если фигура а одинакова по форме с фигурой в, то фигура в одинакова по форме с фигурой а. Вывод: утверждение справедливо. Значит, отношение «быть одинаковым по форме» является симметричным на множестве фигур.

4) Свойство антисимметричности. Отношение a на множестве Х называется антисимметричным, если для " не равных друг другу элементов из множества Х справедливо утверждение: Если х a у, то у a х.

Например: отношение «меньше» на множестве чисел, а¹в.

«Если а<в, то в>а» - истинно, значит, отношение «меньше» является антисимметричным на множестве чисел.

5)Свойство транзитивности. Отношение a на множестве Х называется транзитивным, если для " элементов х, у, z множества Х справедливо утверждение: если х a у, у a z, то х a z.

Например, «если фигура а одинакова по форме с фигурой в, и фигура в одинакова по форме с фигурой с, то фигура а одинакова по форме с фигурой с» - справедливо. Значит, отношение «быть одинаковым по форме» является транзитивным

Дата добавления: 2014-01-11