Тема 4. Основы корреляционного, регрессионного и дисперсионного анализа применительно к правоохранительной и управленческой деятельности

Начальник учебного отдела О.Ю.Чернышова

Эм (семинарские занятия) – 15.30-17.10 по понедельникам

Ч. 15.30-17.10

Часы лекций: 2ч. 13.40-15.20

ОСЕННИЙ СЕМЕСТР) 2013-2014 уч.г.

Начальник учебного отдела О.Ю.Чернышова

Эм (7 практических занятий) – среда 16.00-17.40 с 18.09-30.10

Ч. 15.30-17.10

Часы лекций: 2ч. 13.40-15.20

ОСЕННИЙ СЕМЕСТР) 2013-2014 уч.г.

Понедельник

Вторник

Среда

Четверг

Пятница

Суббота

2ч.

3ч.

2ч.

3ч.

2ч.

3ч.

2ч.

3ч

2ч.

3ч.

2ч.

3ч.

02.09 сан.к Эм

03.09 окб1,к.з Н

04.09 17б Вб

05.09 502ауд Ак Пв

06.09 173 ауд Ох

07.09 фгуз Гиг

09.09 окб 2 У

10.09 17б Вб

11.09 бсмп Хф

12.09 6 ауд Эп

13.09 173ауд Ох

14.09 фгуз Гиг

16.09 бсмп Хф

17.09 окб1,к.з Н

18.09 гкб 7 К

19.09 4ауд Эп Эм

20.09 173ауд Ох

21.09 фгуз Гиг

23.09 окб 2 У

24.09 17б Вб

25.09 502ауд Эм

26.09 сан.к Ак

27.09 173 ауд Ох

28.09 фгуз Гиг

30.09 173ауд Эм

01.10 гкб 7 К

02.10 501ауд Р

03.10 стом.п Хс

04.10 173ауд Ох

05.10 фгуз Гиг

07.10 17 б Вб

08.10 окб1,к.з Н

09.10 502ауд Ак

10.10 6 ауд Р

11.10 бсмп Хф

12.10 фгуз Гиг

14.10 гкб 7 К

15.10 окб1,к.з Н

16.10 502ауд Ак

17.10 17б Вб

18.10 173 ауд Ох

19.10 фгуз Гиг

21.10 17 б Вб

22.10 окб1,к.з Н

23.10 ст.п Хс

24.10 окб 2 У

25.10 173 ауд Ох

26.10 4 ауд Эм

28.10 173ауд Эп

29.10 окб1,к.з Н

30.10 гкб 7 К

31.10 фгуз Гиг

01.11 4ауд Эм

02.11 173ауд Ак

04.11

05.11 окб1,к.з Ген

06.11 17 б Вб

07.11 502ауд Эп

08.11 17б Вб

09.11 173ауд Ак

11.11 4ауд Эм

12.11 окб1,к.з Ген

13.11 17 б Вб

14.11 502ауд Эм

15.11 501 ауд Ак

16.11 502ауд Эм

18.11 502ауд Эм

19.11 окб1,к.з Ген

20.11 гкб 7 К

21.11 окб 2 У

22.11стом.п Хс

23.11 501ауд Ак

25.11 4 ауд Р

26.11 окб1,к.з Ген

27.11 4 ауд Эм

28.11 гкб 7 К

29.11 окб 2 У

30.11 окб2 У

02.12 стом.п Хс

03.12 окб1,к.з Ген

04.12 6ауд Ак

05.12 4ауд Р

06.12 стом.п Хс

07.12 гкб 7 К

09.12 гкб 7 К

10.12 окб1,к.з Ген

11.12 гкб 7 К

12.12 окб 2 У

13.12 4ауд Эм

Д Е К А Б Р Ь – З А Ч Е Т Ы

Понедельник

Вторник

Среда

Четверг

Пятница

Суббота

2ч.

3ч.

2ч.

3ч.

2ч.

3ч.

2ч.

3ч

2ч.

3ч.

2ч.

3ч.

02.09 бсмп Вб *

03.09 502ауд Дб

04.09 Бур Н

05.09 бсмп Вб

06.09 501ауд Р

07.09 501ауд Ак

09.09 501ауд Ох *

10.09 бсмп Вб

11.09 501ауд Дб

12.09 4ауд Дб

13.09 4ауд Дб

14.09 гкб 7 К

16.09 501ауд Ох *

17.09 501ауд Нх

18.09 Бур Н

19.09 гкб 7 К

20.09 502ауд Р

21.09 502ауд Р

23.09 501ауд Ох *

24.09 501ауд Дб

25.09 бсмп Вб

26.09 4 ауд Ак

27.09 гкб 7 К

28.09 гкб 7 К

30.09 501ауд Нх *

01.10 бсмп Хф

02.10 Бур Н

03.10 гкб 7 К

04.10 502ауд Дб Р

05.10 502ауд Дб

07.10 501ауд Г *

08.10 502ауд Ох

09.10 Бур Н

10.10 бсмп Вб

11.10 501ауд Ох

12.10 бсмп Вб

14.10 501ауд Эм *

15.10 502ауд Ох

16.10 Бур Ген

17.10 бсмп Хф

18.10 502ауд Нх

19.10 бсмп Хф

21.10 501ауд Г *

22.10 502ауд Ох

23.10 Бур Н

24.10 4ауд Дб

25.10 501ауд Дб

26.10 502ауд Г

28.10 501ауд Дб *

29.10 501ауд Ох

30.10 Бур Н

31.10 501ауд Ак

01.11 502ауд Р

02.11 бсмп Вб

04.11

05.11 бсмп Хф

06.11 Бур Н

07.11 501ауд Нх Ак

08.11 бсмп Хф

09.11 502ауд Дб

11.11 501ауд Ак

12.11 гкб 7 К

13.11 Бур Ген

14.11 501ауд Ох

15.11 бсмп Хф

16.11 бсмп Хф

18.11 гкб 7 К

19.11 501ауд Ох Ак

20.11 Бур Ген

21.11 бсмп Вб

22.11 501ауд Эм

23.11 бсмп Вб

25.11 501ауд Ох

26.11 501ауд Г

27.11 Бур Ген

28.11 502ауд Г

29.11 501ауд Дб

30.11 6ауд Дб

02.12 гкб 7 К

03.12 бсмп Хф

04.12 Бур Ген

05.12 502ауд Г

06.12 6 ауд Дб

07.12 4ауд Ак

09.12 4ауд Дб

10.12 бсмп Вб

11.12 Бур Ген

12.12 гкб 7 К

13.12 бсмп Вб

14.12 бсмп Хф

16.12 бсмп Хф

17.12 бсмп Вб

18.12 Бур Ген

19.12 бсмп Вб

20.12 бсмп Хф

21.12 бсмп Вб

Д Е К А Б Р Ь - З А Ч Ё Т Ы

Гр.401-404 (02.09,09.09,16.09)

Гр.405-408 (23.09,30.09,07.10)

Гр.409-411 (14.10,21.10,28.10)

При решении прикладных задач нередко возникает необходимость установления факта существования функциональных или иных зависимостей между переменными величинами, которые могут быть и случайными.

Пусть существуют переменные Y, X ₁, Х ₂,…, Х_k. Необходимо установить степень влияния X ₁, Х ₂,…, Х_k на Y.

Переменная Y может быть случайной величиной, даже если X ₁, Х ₂,…, Х_k таковыми не являются, так как может существовать еще ряд неучтенных факторов и ошибки измерения. В таком случае связь между X ₁, Х ₂,…, Х_k и Y является не функциональной, а стохастической.

Кроме того, исследователя может интересовать, существует ли взаимозависимость между случайными величинами.

Таким образом, задачей корреляционного анализа является исследование наличия и силы взаимосвязей между случайными величинами.

Выборочный эмпирический корреляционный момент определяется следующим образом:

,

где и — выборочные средние.

Справедлива формула:

Для оценки связи между случайными величинами используется выборочный коэффициент корреляции:

,

где - выборочные средние квадратичные отклонения величин Х и Y соответственно.

Пример 11. По данным примера 7 найти выборочные коэффициенты корреляции между количеством населения и общим количеством зарегистрированных преступлений, количеством тяжких преступлений, количеством умышленных убийств.

Решение.

Найдем выборочные средние:

Далее найдем выборочные корреляционные моменты:

Найдем выборочные среднеквадратичные отклонения:

При известных выборочных корреляционных моментах и выборочных среднеквадратичных отклонениях найдем искомые выборочные коэффициенты корреляции:

Пример 12. По приведенным в таблице 1 статистическим данным найти выборочные коэффициенты корреляции между уровнем преступности и каждым из динамических рядов независимых факторов преступности.

Таблица 1

Показатели	Годы
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Уровень преступности		75,2	72,7	63,7		50,9	60,8
Доля городского населения	0,8	0,81	0,81	0,81	0,81	0,82	0,82	0,83	0,84
Доля несовершеннолетних, %	6,8	6,4	5,8	5,4	5,5	5,3	6,1	6,7	6,8
Доля ранее судимых (на 10 тыс.)
Доля незанятых (на 100 тыс.)				95,7	77,7	96,3	82,7
Доля наркоманов (на 100 тыс.)		2,3	4,3		6,9	8,9	11,7	16,2	18,9
Доля иммигрантов (на 1 тыс.)	16,2	16,4	15,1	16,6	19,1	21,1	22,3	23,3
Потребление алкоголя (литров спиртового эквивалента)			5,9	5,2	4,6	4,7	5,1	6,2	6,6
Выпуск пром. продукции (тыс. руб./чел.)	2,7	2,7	2,8	3,1	3,1	3,2	3,2	3,1
Выпуск сельхозпродукции (тыс.руб./чел.)	0,4	0,27	0,26	0,37	0,36	0,34	0,31	0,31	0,26
Плотность сотрудников ОВД (на 10 тыс.)	28,6	30,4	28,5	27,6	27,5	26,2	26,3	26,4	27,8
Плотность сотрудников УР (на 10 тыс.)	2,2	2,23	2,36	2,3	2,3	2,21	2,2	2,3	2,4

Решение.

Найдем выборочные средние. Обозначим через выборочную среднюю уровня преступности, через и т.д. – выборочные средние независимых факторов:

Далее найдем выборочные корреляционные моменты:

Найдем выборочные среднеквадратичные отклонения:

При известных выборочных корреляционных моментах и выборочных среднеквадратичных отклонениях найдем искомые выборочные коэффициенты корреляции:

Таким образом, можно сделать вывод о том, что существует тесная связь между уровнем преступности и следующими независимыми факторами: долей городского населения, долей несовершеннолетних, долей ранее судимых, долей незанятых, долей наркоманов, потреблением алкоголя, плотностью сотрудников уголовного розыска. Необходимо также отметить, что существует слабая отрицательная корреляция между уровнем преступности и выпуском промышленной и сельскохозяйственной продукции. Кроме того, слабое влияние плотности сотрудников ОВД на уровень преступности может свидетельствовать о неэффективной организации их работы, ответ на данный вопрос требует дополнительного исследования.

При рассмотрении двумерной случайной величины (Y, X) используются различные приближения одной случайной величины с помощью другой. Важнейшим из них является линейное приближение.

Предположим, что случайная величина приближенно представляет случайную величину Y. При различных a и b она может по-разному отклоняться от Y. Если числа подобраны так, что величина будет наименьшей, то числовая функция a х +b называется линейной средней квадратичной регрессией Y на Х. Коэффициент a обозначают через r _xy и называют выборочным коэффициентом регрессии Y на Х. Нахождение такой прямой называют наилучшим приближением Y по методу наименьших квадратов.

Известно, что , причем:

Таким образом, задачей регрессионного анализа является установление аналитических зависимостей между случайными величинами.

Пример 12. По данным примера 7 найти параметры линейной регрессии для зависимостей общего числа зарегистрированных преступлений, тяжких преступлений и умышленных убийств от количества населения.

Решение.

Подставляя исходные данные в расчетные формулы, получим:

Дисперсионный анализ позволяет ответить на вопрос о наличии существенного влияния некоторых факторов на изменчивость признака, значения которого могут быть получены в результате опыта. При проверке статистических гипотез предполагается случайность вариации изучаемых факторов. В дисперсионном анализе один или несколько факторов изменяются заданным образом, причем эти изменения могут влиять на результаты наблюдений. Исследование такого влияния является целью дисперсионного анализа.

Идея дисперсионного анализа заключается в том, что дисперсия разлагается в сумму составляющих ее дисперсий, каждое слагаемое которой соответствует действию определенного фактора. Например, в однофакторном анализе получится разложение вида:

Здесь:

D_A (X) – дисперсия, вызванная влиянием фактора А.

D_Z (X) – остаточная дисперсия.

Часто рассматривается случай, когда этот единичный фактор принимает некоторое количество различных фиксированных уровней. Если фактор имеет k различных уровней, и на каждом уровне сделано n наблюдений, то имеется таблица размером n x k.

Таблица 5.2

Номер наблюдения	Уровни фактора А
А 1	А 2	…	А k
	x 11	x 21	…	xk 1
	x 12	x 22	…	xk 2
…	…	…	…	…
n	x 1 n	x 2 n	…	xkn
Итоги:	x 1	x 2	…	xk

Рассматривается гипотеза Н ₀ – фактор не оказывает влияния на изменчивость признака. Сравниваются дисперсия, вызванная влиянием фактора, и остаточная дисперсия. Если различие между этими дисперсиями значимо, то фактор оказывает существенное влияние на случайную величину; в этом случае средние наблюдаемых значений на каждом уровне (групповые средние x ₁, x ₂,…, x_k) различаются также значимо.

Дата добавления: 2014-01-11