Теорема Штейнера. Величина моменту інерції залежить від розташування осі, щодо якої відбувається обертання

Величина моменту інерції залежить від розташування осі, щодо якої відбувається обертання. Ця залежність визначається співвідношенням, яке називається теоремою Штейнера: Момент інерції тіла, що обертається щодо довільної осі, рівний сумі моменту інерції цього тіла, щодо осі, що проходить через його центр тяжіння паралельно заданої осі і твору маси цього тіла на квадрат відстані меду осями.

Рис. 5.4

5.6 Основний закон динаміки обертального руху

Основний закон динаміки обертального руху є аналогом другого закону Ньютона, який описує поступальну ходу тіла.

Розглянемо обертальний рух тіла довільної форми під дією сили і знайдемо роботу цієї сили. Робота цієї сили витрачається на повідомлення тіла кінетичної енергії обертання. Записавши зв'язок між роботою кінетичної енергії в результаті перетворень, отримаємо основний закон динаміки обертального руху.

Використовуючи зв'язок між роботою і силою, можемо записати, що робота dA, здійснена за час dt при повороті тіла на dбуде рівна:

dA = dl

dl - довжина дуги, яку проходитьтіло за час dt.

Використовуючи міру радіану вимірювання кутів, можемо записати:

(5.7)

dA = I (5.8)

оскільки в (5.7) і (5.8) рівні ліві частини, то

M=I e- (5. 9)

Це основний закон динаміки обертального руху

F = m a - другий закон Ньютона

Момент сили є аналогом сили при поступальній ході, момент інерції -аналогом маси, кутове прискорення - аналогом лінійного.

Якщо обертання відбувається під дією декількох сил, то сумарний момент сил, що повідомляють тіло з моментом інерції I кутове прискорення , прямопропорційне результуючому моменту сил і зворотньопропорційному моменту інерції сил.

5.7 Закон збереження моменту імпульсу.

Також як закон збереження моменту імпульсу при поступальній ході, закон збереження моменту імпульсу є наслідком основного закону динаміки обертального руху.

У загальному випадку момент інерції тіла/системи, що обертається під дією моменту сили, не є величиною постійної. Це пояснюється тим, що конфігурація тіл може зміняться, отже, змінюється розподіл маси.

Запишемо основний закон динаміки обертального руху для загального випадку обертання системи, тобто з урахуванням того, що момент інерції цього тіла може змінюватися:

= L

( 5.10)

Момент сили рівний швидкості зміни моменту імпульсу.

З формули (3) слідує, що в замкнених системах (на які не діють зовнішні сили або їх дії компенсуються) Швидкість зміни моменту імпульсу рівна нулю, момент імпульсу L = const => I = const.

Таким чином, внутрішня взаємодія в системі тіл може привести до зміни моменту інерції системи і, відповідно, кутової швидкості, але таким чином, що твір їх величин залишиться const.

Наприклад, при збільшені моменту інерції кутова швидкість повинна зменшитись у стільки ж раз, у скільки збільшився момент інерції.

В якості прикладу застосування закону збереження моменту імпульсу розглянемо обертання фігуриста, момент імпульсу якого змінюється за рахунок зміни його тіла.

Так як у другому випадку момент імпульсу менше, чім у першому, кутова швидкість обертання у другому випадку буде більше, чім у першому.

Таблиця аналогії між параметрами поступального та обертального рухів.

Таблиця 5.2

Поступальний рух	Обертальний рух
Маса m	Момент інерції J
Шлях S	Кут оберту j
Швидкість	Кутова швидкість
Імпульс	Момент імпульсу
Прискорення	Кутове прискорення
Рівнодіюча зовнішніх сил	Сума моментів зовнішніх сил
Основне рівняння динаміки	Основне рівняння динаміки
Робота FdS	Робота обертання Mdj
Кінетична енергія	Кінетична енергія обертання

6. Механічні коливання

Коливаннями називається будь-який процес, що характеризується повторюваністю.

Якщо система повертається в початковий стан через рівні проміжки часу, то коливання називаються періодичними, якщо ця умова не виконується, коливання називаються періодичними.

У разі періодичних коливань час, за який система повертається в початковий стан, називається періодом і обчислюється по формулі 6.1. - (6.1)

де N-число коливань, t - повний час руху.

Коливання називаються гармонійними, якщо закон, по якому відбувається зміна параметрів коливань системи протягом часу, є гармонійним.

рівняння гармонічних коливань

де х₀ - миттєве значення

() - фаза коливань.

Фаза - величина, що визначає стан коливальної системи в даний момент часу.

- повна фаза коливання

, - початкова фаза (в момент t=0)

- поточна фаза,

циклічна частота коливання, по визначенню – це число коливання, здійсненних системою за час рівний 2π сек.

, (6.2)

Окрім циклічної частоти коливання характеризуються лінійною частотою(у) - за визначенням рівна числу коливань, здійснених системою за 1 сек.

– лінійна частота коливання (6.3)

Залежно від природи величини, що змінюється по періодичному закону, коливання ділять на:

♦ механічні

♦ електромагнітні

До механічних коливань відносять періодичні зміни координати тіла, його швидкості i прискорення, сили, під дією якої відбувається цей рух, кінетичній і потенційній енергії цього тіла.

До електромагнітних коливань відносять зміну заряду, сили струму, напругу, енергії електричного і магнітного поля в деякій коливальній системі, що запасає електромагнітну енергію.

Залежно від того, є втрати енергії в коливальній системі чи ні, коливання можуть бути незгасаючими і затухаючими.

Якщо повна енергія системи не міняється з часом - коливання незгасаючі (амплітуда і період = const)

Якщо в системі відбуваються втрати енергії - коливання затухаючі (амплітуда -ся з часом, період -ся, тому затухаючі коливання - аперіодичні).

Для того, щоб компенсувати втрати енергії у разі затухаючих коливань, необхідно над коливальною системою здійснювати роботу, величина якої буде рівна спаду енергії коливальної системи за проміжок часу. Така робота повинна здійснюватися зовнішньою силою.

Коливання, що відбуваються під дією внутрішніх сил, - власні.

6.2 Кінематика гармонійних коливань

1. Закон зсуву при гармонійних коливаннях X=x(t)

(

2. Залежність швидкості від часу

– амплітуда швидкості

3. Залежність прискорення від часу

a = sin(

- амплітуда прискорення

Графіки гармонійних коливань представлені на рис. 6.1

Рис. 6.1

6.3 Динаміка гармонійних коливань

Цей закон дозволяє отримати зв'язок між силою, що періодично діє, викликає гармонійні коливання, і прискоренням системи.

Якщо x=x₀ cos (ωt+₀)

-амплітуда швидкості

-амплітуда прискорення

=m -амплітуда сил

Кінематична енергія міняється згідно із законом:

Якщо система є консервативною, тобто в ній немає втрати механічної енергії, то повна механічна енергія такої системи є величиною постійної.

Повна механічна енергія коливальної системи складається з потенційної і кінетичної:

Е_мех⁼ Е_кін + E_пот =const

В процесі руху тіла кінетична енергія переходить в потенційну і, навпаки, в різних коливаннях. У ті моменти часу, коли зсув тіла від положення рівноваги рівний нулю, потенційна енергія системи рівна нулю. Отже, вся механічна енергія системи рівна кінетичній енергії тіла.

X=0, E_пот=0 => E_мех=E_кін.max

Отже, при проходженні положення рівноваги кінетична енергія тіла max-на і mах-на швидкість його руху.

У ті моменти часу, коли зсув тіла від положення рівноваги рівний max, тобто амплітуді, кінетична енергія рівна нулю. Отже, вся механічна енергія системи рівна потенційній енергії тіла.

® Е_мех=Е_{пот.ьах}

Е_мех=Е_кін+Е_пот=Е_кін.max=Е_пот.max Е_пот=Е_мех-Е_кін=Е_кін.max-Е_кін®Е_пот(t)

([1-=

Е_пот(t)=m

Графіки коливань представлені на рис. 6.2

Рис. 6.2

6.4 Диференціальне рівняння гармонійних коливань для фізичного маятника

Фізичним маятником називається коливальна система, що є тілом довільної форми, здатним здійснювати коливання навколо довільної осі, що не проходить через центр тяжіння тіла.

Диф, рівнянням коливань такого тіла називається диф. рівняння другого порядку, що є наслідком основного закону динаміки, застосованого для опису коливального руху.

Вирішенням цього диф. рівняння є залежність зсуву коливальної системи від положення рівноваги для будь-якого моменту часу.

Повернення тіла в положення рівноваги відбувається під дією сили тяжіння(mg). Оскільки центр тяжіння тіла рухається по дузі кола радіусу , запишемо основний закон динаміки для даного випадку:

M=I , (6.3)

де M- момент сили, I- момент інерції сили, - кутове прискорення

За визначенням:

M-mg , d- плече сили. d=sin , M=-mgsin

За визначенням: Досліди показують, що коливання є гармонійними, якщо кут відхилення а є малим, тобто не перевищує 10°. У разі малих кутів можна записати sin=(рад) - диф. рівняння гармонічних коливань

Вирішення цього рівняння має вид гармонійної функції, тобто записується у вигляді:

Представимо одне з цих рішень в диф. рівняння і з тотожності знайдемо циклічну частоту коливань фізичного маятника.

®

циклічна частота коливання фізичного маятника

Окремим випадком фізичного маятника є математичний маятник.

Дата добавления: 2014-01-11