Рівновага стисливої рідини (газу)

Для запису диференційного рівняння рівноваги газу у полі сил тяжіння використаємо основне диференціальне рівняння гідростатики (2.3), враховуючи що X = 0, Y = 0, Z= –g

dp/ρ + g dz = 0 (2.10)

Для газів ρ ≠ const і для інтегрування (2.10) необхідно знати закон зміни стану газу.

Для ізотермічних процесів (T = const) після інтегрування отримуємо рівняння газостатики

gz + (p/ρ) lnp = const (2.11)

Якщо порівняти його з основним рівнянням гідростатики gz + (p/ρ) = const, то відмінність полягає у наявності множника lnp.

Отже, тиск газу по висоті з урахуванням його стисливості в ізотермічних умовах розподіляється не по лінійному, а по логарифмічному закону. Ця різниця є несуттєвою: розподіл тиску повітря у полі сил тяжіння при ізотермічних умовах з помилкою в 1% можна визначати, розглядаючи газ як нестисливу рідину (ρ≈const) при зміні висоти до 120м.

Подібні результати отримуємо, якщо задатися іншим законом зміни стану газу (наприклад, адіабатичним). Оскільки у технічних задачах зустрічаються значно менші висоти, помилка від застосування рівнянь гідростатики до стисливих рідин (газів) є незначною.

При виводі основного рівняння гідростатики не враховувалася зміна атмосферного тиску з зовнішньої сторони стінки резервуара, бо густина повітря є значно меншою за густину води або іншої нестисливої рідини. Однак, цим фактом не можна нехтувати при дослідженні зміни манометричного тиску повітря чи іншого газу. В цьому випадку зміна тиску у замкненому резервуарі під дією сили тяжіння, тобто від ваги повітря чи газу, буде сумірною зі зміною по висоті атмосферного тиску ззовні резервуара.

Розглянемо розподіл тиску в вертикальному газовому стояку висотою H (рис. 2.4, а). Нехай p_а1 і p_а2 – тиск повітря ззовні стояка (атмосферний) в перетинах 1 – 1 та 2 – 2; p_вн.1 і p_вн.2 – тиск всередині стояка у тих же перетинах; ρ_вн. – густина газу всередині стояка; p_зовн. – густина зовнішнього повітря.

Рис. 2.4

Тиск зовнішнього повітря вздовж стояка

p_а1 = p_а2 – ρ_зовн. g H (2-12)

Тиск газу всередині стояка

p_вн.1 = p_вн.2 – ρ_вн. g H (2-13)

Після віднімання від виразу (2-13) виразу (2-12) отримаємо

p_вн.1 ‑ p_а1 = p_вн.2 – p_а2 ‑ g H (ρ_вн. ‑ ρ_зовн.)

або

p₁ = p₂ ‑ g H (ρ_вн. ‑ ρ_зовн.) (2-14)

де p₁ і p₂ – манометричний тиск у перетинах 1 – 1 та 2 – 2 відповідно.

Рівняння (2-14) показує, що манометричний тиск по висоті стояка може збільшуватися (ρ_вн. < ρ_зовн.) або зменшуватися (ρ_вн. > ρ_зовн.). Оскільки густина природних газів зазвичай менша, ніж густина атмосферного повітря (ρ_вн. < ρ_зовн.), то в газовому стояку тиск зростає по висоті стояка. Цим можна пояснити той факт, що ефективність роботи газових пальників на верхніх поверхах будівель є кращою, ніж на нижніх.

З рівняння (2-14) також випливає, що в водяних стояках, де густина води є значно більшою за густину атмосферного повітря (ρ_вн. >> ρ_зовн.), зміну тиску цього повітря по висоті стояка можна не враховувати.

За допомогою рівнянь (2-12) і (2-13) можна також пояснити виникнення природної тяги в димовій трубі (рис. 2-4, б), де внаслідок підвищеної температури димових газів їх густина є меншою за густину зовнішнього повітря. Враховуючи, що в перетині 1 – 1 тиск всередині та ззовні димової труби є однаковим (p_вн.1 = p_а1), отримаємо для входу в трубу в перетині 2 – 2

p_вн.2 – ρ_вн. g H = p_а2 – ρ_зовн. g H,

або

p_а2 – p_вн.2 = g H (ρ_зовн. ‑ ρ_вн.) = p_розр., (2-15)

де p_розр. – розрідження або вакуум у димовій трубі. Завдяки розрідженню в димовій трубі виникає природна тяга, яка збільшується при зростанні висоти H труби.

Дата добавления: 2014-01-11