Моделирование случайной величины с произвольным законом распределения

В основе моделирования случайных величин с произвольными законами распределения вероятностей лежит, как правило, метод обратной функции.

В этом методе используется следующая теорема.

Теорема. Если случайная величина имеет плотность распределения вероятностей , то распределение случайной величины

(y)dy)

равномерно в интервале , т. е.

По определению, является функцией распределения случайной величины .

Теорема может быть проиллюстрирована графиками, представленными на рис. 3.10.

Обозначим: - -е число из , - -е случайное число из произвольного распределения.

Рис. 3.10. Иллюстрация к методу обратной функции Из (3.1) следует:

Моделировать равномерно распределенное случайное число мы уже умеем. Нужно найти неизвестное , находящееся в верхнем пределе интегрирования.

Относительно ыражение принимает вид:

Отсюда и название - "метод обратной функции".

Пример 3.6. Получить формулу для моделирования случайных

чисел, распределенных по экспоненциальному закону, с параметром (матожиданием ).

Плотность и функция этого распределения имеют вид (рис. 3.11):

Решение

Поскольку случайная величина имеет равномерное распределение в интервале , как и , то справедливо:

Примеров подобного аналитического преобразования случайного числа в случайное число из произвольного распределения немного, так как для многих законов распределения, встречающихся в практике моделирования, интеграл (3.1) относится к неберущимся, а численные методы решения увеличивают затраты машинного времени.

Рис. 3.11. Плотность и функция экспоненциального распределения

Поэтому в современных системах моделирования применяется приближенный метод обратной функции, основанный на кусочно-линейной аппроксимации функции распределения моделируемой случайной величины.

Суть метода заключается в следующем.

Требуемый закон распределения случайной величины размещается в памяти компьютера в виде координат функции распределения. Каждая координата состоит из случайного числа и соответствующего значения функции распределения

Чем больше координат, тем точнее будет моделирование. Приемлемая точность обеспечивается заданием 20…30 координат.

При обращении за очередным случайным числом нужного закона распределения сначала генерируется случайное число из Это число сравнивается со значениями .

При совпадении выдается соответствующее случайное число .

Если нет совпадения, то случайное число вычисляется из подобия треугольников, как показано на рис. 3.12.

Рис. 3.12. Иллюстрация к методу кусочно-линейной аппроксимации

Из подобия треугольников ABC и AB'C' следует:

Отсюда по находится значение .

Значительную роль в моделировании играет случайная величина, имеющая нормальное распределение. Метод обратной функции в аналитическом виде здесь неприемлем, так как интеграл (3.1) неберущийся, а его численное решение громоздко.

Для генерации случайных чисел, подчиненных нормальному распределению, применяется метод обратной функции с кусочно-линейной аппроксимацией, а также метод, основанный на центральной предельной теореме (ЦПТ) теории вероятностей.

Как известно, ЦПТ дает теоретическое объяснение подтвержденному практикой наблюдению: если исход случайного события определяется большим числом случайных факторов, и влияние каждого фактора мало, то такой случайный исход хорошо аппроксимируется нормальным распределением. Эта теорема имеет много формулировок. Одна из наиболее практичных для целей моделирования случайных последовательностей - теорема Леви-Линдеберга.

Теорема. Случайная величина

где - сумма случайных чисел одного и того же распределения с матожиданием и дисперсией при асимптотически стремится к нормальному распределению с и дисперсией .

Удобно случайные числа брать из рассмотренного датчика . В этом случае .

Хорошее приближение к нормальному распределению получается уже при числе Каждое случайное число при генерируется так:

Недостаток способа состоит в том, что он не экономичен, так как для генерирования одного случайного числа требуется шесть случайных чисел из распределения .

В ряде случаев применяют датчики с числом . Тогда

Если датчик случайных чисел нормального распределения выдает стандартную последовательность чисел с , , то пересчет на произвольное значение характеристик выполняется так:

где - требуемое значение матожидания;

- требуемое значение среднего квадратического отклонения;

- случайное число из нормального распределения с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением .

В современных системах моделирования имеются встроенные датчики, позволяющие непосредственного задавать нужную случайную величину с требуемыми значениями характеристик. Однако если исследователя эти возможности не удовлетворяют (например, по точности представления функции распределения вероятностей), то он может задать требуемый закон распределения самостоятельно.

Дата добавления: 2014-01-11