Обобщенное уравнение состояния

Матричная запись уравнений состояния электрической системы

Второй закон Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа

Закон Ома

Матричная форма представления основных законов электротехники.

С использованием матриц инциденций М и N, а также матриц режимных параметров можно представить в компактной матричной форме основные законы электротехники.

Матричное уравнение:

U_B = Z_BI - E_B (1.1)

Структура матриц:

=. -

U_B – матрица падений напряжений в ветвях схемы;

I – вектор токов в ветвях;

E_B – матрица ЭДС в ветвях;

Z_B – матрица сопротивлений в ветвях, где Z_ij, i = j – взаимные сопротивления ветвей обусловленных взаимной индуктивностью ветвей;

Z_ij = Z_ji = 0 – в установившемся симметричном режиме функционирования электрической системы.

Пример 1.2

Записать в матричной форме закон Ома для расчетной схемы:

Z₁ = 0,1 Е₁ = 100

Z₂ = 0,3 Е₃ = 200

Z₃ = 0,5

=. -

Матричная форма записи позволяет представить баланс токов для всех узлов схемы одновременно.

M · I = J

Структура матриц:

1 ветви m

. =

M – матрица инциденций первого рода;

I – вектор неизвестных токов в ветвях;

J – вектор задающих токов.

Если J_i < 0, то он моделирует подключение нагрузки, если J_i > 0, то он моделирует генерацию мощности в i-том узле.

Пример 1.3

Записать первый закон Кирхгофа в матричной форме и перейти к системе уравнений:

Узлы нагрузочные:

J₁ = -5

J₂ = -3

J₃ = -1

1 2 3 4 5

М =

Б -1 0 -1 -1 0 - проверка

Матричная форма:

. =

Система уравнений:

>I₃ – I₅ = -5

I₂ + I₄ + I₅ = -3

I₁ – I₂ = -1

Матричная форма позволяет записать баланс напряжений для всех независимых контуров схемы:

N · U_B = 0

Структура матриц:

1 ветви m

. = 0

Преобразуем закон Кирхгофа, используя матричную запись закона Ома:

N (Z_BI - E_B) = 0

N Z_BI = N E_B

Произведение N E_B = E_К

где Е_в = - матрица ЭДС ветвей

Е_к = - матрица ЭДС контуров

Тогда второй закон Кирхгофа имеет вид:

N Z_BI = Е_К

Структура матриц:

1.... m

.. =

Z_B - диагональная матрица сопротивлений ветвей;

I – вектор неизвестных токов в ветвях.

Пример 1.4

Записать в матричной форме и в виде системы алгебраических уравнений второй закон Кирхгофа для расчетной схемы:

Z₁ = 0,1 Е₁ = 100

Z₂ = 0,3 Е₃ = 300

Z₃ = 0,4

Z₄ = 0,8

Z₃ = 0,6

1 2 3 4 5

N =

Найдем вектор контурных ЭДС

Е_К = N· Е_В

Е_К =. = =

В матричной форме:

.. =

. =

N Z_B · I = Е_К

Система уравнений:

-0,4 I₁ + 0,8 I₄ – 0,6 I₅ = 300

0,1 I₁ + 0,3 I₂ – 0,8 I₄ = -200

Задание 2

Используя вариант расчетной схемы и исходные данные записать 1 и 2 законы Кирхгофа в матричной форме и в виде системы уравнений.

Под уравнением состояния понимается матричное уравнение (система уравнений), которое описывает режимы работы электрической системы.

В зависимости от того, что при расчете установившегося режима принимается за исходные и независимые параметры. Выделяются три вида матричных уравнений состояния:

1.обобщенное уравнение состояния;

2.уравнение узловых напряжений;

3.уравнение контурных токов.

Обобщенное уравнение состояния получается за счет объединения матричных уравнений I и II законов Кирхгофа. Это позволяет, получить число независимых уравнений в соответствующей системе уравнений, равные числу независимых токов в ветвях. Общий вид уравнения не зависит от конфигурации схемы и числа ее элементов.

M · I = J – I закон Кирхгофа

N Z_BI = Е_К – II закон Кирхгофа

Матрицы М и N Z_B будем рассматривать как блоки единой матрицы коэффициентов

А = – матрица параметров схемы замещения

Матрицы J и Е_К представляются как блоки объединенной матрицы исходных параметров:

F =

Тогда обобщенное уравнение в матричной форме имеет вид:

А · I = F

Структура:

Составить обобщенное уравнение состояния для расчетной схемы (в общем виде), если известны сопротивления ветвей Z₁, Z₂, Z₃, Z₄, Z₅ и задающие токи J₁, J₂, J₃

1 2 3 4 5

М =

- - - - -

Б 1 0 0 0 -1

1 2 3 4 5

N =

J = - задающие токи берутся положительными для генераторных узлов и отрицательными для нагрузочных узлов.

Е_к = = - так как отсутствуют ЭДС в ветвях схемы.

Находим произведение N Z_B

N Z_B =. = =

Обобщенное уравнение состояния имеет вид:

. (1.5)

A · I = F

Перейдем к системе уравнений:

- I₁ + I₂ + I₄ = J₁

I₃ – I₄ + I₅ = J₂

- I₂ – I₃ = J₃ (1.6)

Z₁ I₁ + Z₄ I₄ + Z₅ I₅ = 0

-Z₂ I₂ + Z₃ I₃ + Z₄ I₄ = 0

Используя обобщенное уравнение состояния, порядок расчета установившегося режима можно свести к следующему:

1.определяются токи в ветвях схемы по одному из возможных способов:

а)решается матричное уравнение (1.5)

I = A^-1 F

б)находятся корни системы уравнений (1.6)

2.рассчитываются падения напряжений в ветвях схемы на основе закона Ома(1.1)

U_B = Z_BI - E_B

3.определяются узловые напряжения по уравнению связи параметров [1]

U_Δ = M_t^-1 U_B

4.на основе полученных данных рассчитываются остальные параметры режима: потоки мощности P, Q; потери ΔР, ΔQ и т.д.

Таким образом, последовательность расчета предполагает решение на первом этапе системы уравнений порядка m, где m – количество ветвей схемы.

Анализ реальных схем показал. Что число ветвей обычно в 1,5 раза больше количества узлов. Поэтому чаще для проведения расчета нормальных режимов используется система уравнений узловых напряжений.

Задание 3.

Для расчетной схемы записать в матричной форме обобщенное уравнение состояния. Перейти к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных токов в ветвях.

Дата добавления: 2014-01-11