Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Знакочередующиеся ряды. Определение. Числовой ряд, у которого два соседних члена имеют противоположные знаки, называется знакочередующимся рядом

Определение. Числовой ряд, у которого два соседних члена имеют противоположные знаки, называется знакочередующимся рядом.

Такой ряд можно представить в виде

(1)

Для знакочередующихся рядов имеется достаточный признак, часто используемый на практике

Теорема. (Признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и предел общего члена равен нулю, то ряд (1) сходится.

Доказательство. Из условия теоремы следует

(2)

(3)

Рассмотрим подпоследовательность частичных сумм с четным числом слагаемых

.

Представим эту сумму в виде

. (4)

(Эта частичная сумма содержит конечное число слагаемых и, следовательно, можно группировать члены). В выражении (4) каждая скобка неотрицательная (в силу условий (2)), поэтому последовательность частичных сумм с четными номерами – неубывающая.

Эту же подпоследовательность можно представить по-другому.

Из последнего выражения следует, что

.

Мы получили, что неубывающая подпоследовательность ограничена сверху, следовательно, она имеет предел. Введем обозначение

. (5)

Теперь рассмотрим подпоследовательность частичных сумм ряда (1) с нечетным числом слагаемых

.

Тогда

. (6)

Мы получили, что две подпоследовательности (с четным и нечетным числом слагаемых) последовательности частичных сумм ряда (1) сходятся к одному числу S, следовательно, , что означает, что ряд сходится.

Следствие 1. Если знакочередующийся ряд (1) удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, то сумма этого ряда удовлетворяет условиям:

В процессе доказательства теоремы Лейбница были получены оценки

Перейдем в этом двойном неравенстве к пределу, с учетом соотношения (5), получим

,

что и требовалось доказать.

Следствие 2. Если знакочередующийся ряд (1) удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, то абсолютная величина суммы любого остатка не превосходит первого отброшенного члена, т.е.

(7)

где .

Доказательство. Рассмотрим остаток ряда (1) после номера 2n

Согласно следствию 1

. (8)

Теперь рассмотрим остаток ряда (1) после номера 2n-1

Тогда из следствия 1 получим

. (9)

Анализируя неравенства (8) и (9) приходим к выводу о справедливости неравенства (7).

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

1) Ряд знакочередующийся;

2) Члены ряда убывают по абсолютной величине;

3) . (для раскрытия неопределенности применили правило Лопиталя).

Таким образом, исследуемый ряд сходится по признаку Лейбница.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Замечание. Если в признаке Раабе или в признаке Бертрана то эти признаки не дают ответа на вопрос о сходимости исследуемого ряда | Общий признак сходимости числовых рядов
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 545; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.01 сек.