КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Свойства равномерно сходящихся рядов
Замечание: Если два функциональных ряда и сходятся на множестве X равномерно, то всякая их линейная комбинация,где a,bÎRтак же является равномерно сходящимся рядом на множестве X. Теорема Если функции непрерывны в точке ряд - равномерно сходящийся на множестве X, то его сумма так же непрерывна в точке . Доказательство. Напомним определение: Функция непрерывна в точке , если она определена в этой точке, существует предел функции в этой точке и равен значению функции в точке, т.е. или 1) Ряд - равномерно сходящийся Последнее неравенство выполняется для , в том числе и для любого фиксированного , т.е. 2) Частичная сумма ряда - функция - непрерывна, как сумма конечного числа непрерывных функций она непрерывна и в точке. Оценим разность
т.е. , т.е. функция - непрерывна в точке Следствие 1. Если сумма функционального ряда с непрерывными членами разрывна в области , то этот ряд в области сходится неравномерно. Следствие 2 В равномерно сходящемся ряде возможен почленный переход к пределу, т.е. Т.к. - непрерывная функция, то Пример Исследовать характер сходимости ряда на сегменте 0£x£1 при х=0 0+0+0+… ряд сходится; при х=1 0+0+0+… ряд сходится; Частичные суммы ряда . Тогда предел частичных сумм Остаток ряда . Следовательно, данный ряд сходится неравномерно на исследуемом отрезке. Примечание. Если функциональный ряд непрерывных на сегменте функций сходится на этом сегменте к разрывной функции, то ряд сходится неравномерно. Замечание (следствие теоремы о непрерывности суммы неравномерно сходящегося ряда) Если сумма S(x) функционального ряда с непрерывными членами разрывна в области X, то этот ряд в области X сходится неравномерно.
Следствие: В равномерно сходящемся ряде возможен почленный переход к пределу. – сходится равномерно тогда S(x) - непрерывная функция. т.е. Теорема (о почленном интегрировании функционального ряда). Если функциональный ряд с непрерывными членами сходится кфункции S(x) равномерно на [a,b], то его можно почленно интегрировать на любом отрезке и справедливо равенство: (1) и ряд сходится равномерно на отрезке [a;b]. Доказательство: 1.Согласно теореме о непрерывности равномерно сходящегося функционального ряда функция непрерывна на отрезке [a;b], следовательно, она интегрируема на любом отрезке . 2. Ряд сходится равномерно на отрезке [a;b] это означает, что Обозначим:
Оценим разность:
Для , следовательно, ряд сходится на отрезке [a;b] равномерно к функции , т.е. справедливо равенство (1). Пример: Исследовать на сходимость ряд . Рассмотрим ряд: Для любого действительного числа , а ряд - сходящийся, следовательно, по признаку Вейерштрасса ряд - сходится равномерно на всей числовой оси. Проинтегрируем его на отрезке [0;x] По теореме о почленном интегрировании функциональных рядов он сходится равномерно на всей числовой оси. Теорема (о почленном дифференцировании функционального ряда) Если функциональный ряд с непрерывно дифференцируемыми на отрезке [a;b] членами сходится к функции S(x), а ряд Проинтегрируем это равенство на (Левая часть полученного равенства дифференцируема по x, следовательно, и правая часть дифференцируема по x) тогда , следовательно, справедливо равенство (2)
Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 446; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |