Пример 2. Найти область сходимости функционального ряда

Решение. Общий член ряда.Тогда последующий член ряда получается

заменой на: Вычислим предел

.

По признаку Даламбера ряд сходится,если т. е. должно выполняться неравен-

ство Преобразуя последнее неравенство к виду получаем, что в

области ряд сходится абсолютно. Исследуем сходимость ряда на концах интервала.
При ряд имеет вид. Это сходящийся ряд обобщенный гармонический ряд ().
При ряд имеет вид. Это знакочередующийся ряд, который сходится абсолютно,так как ряд, составленный из модулей сходится. Таким образом, область сходи-

мости исходного функционального ряда будет такой: Заметим, что нашу задачу можно было бы решить, сделав в исходном ряде замену Тогда получим так называемый степенной ряд который будет сходиться в области На следующей лекции будет показано, что этот ряд будет сходиться равномерно на любом отрезке

Лекция 3. Свойства равномерно сходящихся рядов: непрерывность суммы, её дифференцируемость и интегрируемость. Степенные ряды. Теорема Абеля, радиус и интервал сходимости. Непрерывность суммы степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда. Ряды Тейлора. Условия разложимости функции в ряд Тейлора

Напомнимсначала определение равномерной сходимости функционального ряда.

Определение 1. Говорят, что ряд сходится к сумме равномерно на множестве, если

Здесь перечеркнутое означает, что номер зависит только от и не зависит от точек (номер обслуживает все одновременно!).

1.Свойства равномерно сходящихся рядов: непрерывность суммы, её дифференцируемость и интегрируемость

Перейдем к изучению свойств равномерно сходящихся рядов.

Теорема 1 (о нерерывности суммы равномерно сходящегося ряда). Если ряд равномерно сходится на множестве и все его члены непрерывыны на множестве то его сумма непрерывна в каждой точке этого множества.

Доказательство. Покажем, что функция непрерывна в произвольной фиксирован-

нойточке множества. Пусть произвольное число. Так как ряд равномерно сходится к сумме,то для указанного существует номер такой, что

(для всех одновременно).

Зафиксируем произвольно Будем иметь

В силу высказывания (1) каждый из модулей меньше Так как сумма состоит из конечного числа непрерывных слагаемых, то она непрерывна в точке поэтому для указанного найдется такое, что при всех выполняется неравенство Обращаясь к (2), видим, что при всех выполняется неравенство Это означает, что функция непрерывна в точке Теорема доказана.

Теорема 2 (интегрирование равномерно сходящегося ряда). Пусть для ряда вы-

полнены следующие условия:

1) все члены непрерывны на отрезке;

2) ряд сходится к сумме равномерно на указанном отрезке.

Тогда ряд из интегралов сходится, функция интегрируема на отрезке и имеет место равенство

Доказательство вытекает из равенства где -й остаток данного ряда. Так как ряд сходится равномерно на отрезке то равномерно на этом отрезке, а значит, функция непрерывна на отрезке и поэтомуинтегрируема на нём (то же верно и для функции так как она является суммой непрерывных функций и). Кроме того, такое, что для всех одновременно. Интегрируя равенство будем иметь

откуда получаем, что

Это означает, что ряд из интегралов сходится к сумме т.е. что

Теорема доказана.

Теорема 3 (дифференцирование равномерно сходящегося ряда). Пусть для ряда выполнены следующие условия:

1) все члены непрерывно дифференцируемы на отрезке;

2) ряд из производных сходится равномерно на

3) сам ряд сходится хотя бы в одной точке

Тогда исходный ряд сходится равномерно на отрезке,его сумма диф-

ференцирума на этом отрезке и имеет место равенство

Доказательство этой теоремы вытекает из предыдущего результата. Однако приводить его мы не будем.

Дата добавления: 2014-01-11