Моделирование случайных событий

При моделировании случайных величин в дальнейшем будем полагать, что в нашем распоряжении имеется датчик случайных чисел с равномерным распределением в интервале [0,1]. Обращение к датчику возможно в любой момент времени. Рассмотрим использование датчика случайных чисел при моделировании случайных событий.

Пусть в процессе работы моделирующего алгоритма требуется зафиксировать появление или непоявление некоторого события А, которое наступает с вероятностью

Р [А] = Р

Так как сумма вероятностей появления и не появление события А равна единице, можно этой сумме поставить в соответствие отрезок [0,1], на котором равномерно распределена случайная величина U. Разделив условно отрезок [ 0,1 ] на части, равные вероятности р появления и вероятности 1-р не появления случайного события А, будем считать, что событие А произошло или нет, если случайная величина от ДСЧ попадает в соответствующий отрезок. Тогда алгоритм, имитирующий появление или не появление события A изобразится схемой рис 8.1

Рис.8.1.Схема алгоритма имитации случайного события А

Пример. Построим моделирующий алгоритм для имитации соревнования двух стрелков, попадающих в цель с вероятностями =0,9 и =0,8. Побеждает тот, кто будет иметь большее количество попаданий из 10 выстрелов.

Введем обозначения. N1 и N2 - количество попаданий для каждого стрелка, I - счетчик количества выстрелов. Схема моделирующего алгоритма представлена на рис. 8.2.

Рис.8.2. Схема алгоритма моделирования соревнования двух стрелков

В алгоритме используется обращение к подпрограмме ДСЧ - датчику стандартных равномерно распределенных случайных чисел.

Рассмотрим алгоритм моделирования простейшей комбинации событий.

Пусть событие А имеет вероятность появления Р[А], а событие В зависит от А. Заданы условные вероятности Р[В/А] и Р[В/А]. Тогда вычисления для имитации событий А и В отобразятся следующей схемой (рис. 8.3.).

Рис.8.3. Схема алгоритма моделирования простейшей комбинации событий

2. Моделирование случайной дискретной величины

Пусть Х - дискретная случайная величина, заданная рядом распределения:

Поставим задачу: с помощью вычислений имитировать опыт, в результате которого Х принимает одно из своих возможных значений . Моделирование такой случайной величины основано на тех же соображениях, что и моделирование случайных событий. Отрезок [0,1] разбивается на части длиной ,,..., (рис.8.4).

Рис. 8.5. Схема алгоритма имитации дискретной случайной величины

С каждым отрезком связывается соответствующее значение Х. Имитация состоит в том, что получив от датчика случайное число U, определяют, в какой отрезок оно попадает. Случайная величина принимает то значение, которое соответствует заданной вероятности, связанной с отрезком. Сумма длин отрезков равна сумме вероятностей и равна 1. Соответствующие вычисления проводятся по схеме, изображенной на рис.8.5.

Для наиболее распространенных дискретных распределений эту схему можно несколько усовершенствовать так, чтобы не запоминать вероятностей Рj. Это особенно важно для случая, когда множество возможных значений Х бесконечно.

Рассмотрим три наиболее часто встречающихся распределения:

1. Биномиальное ,(j=1,2,...,n).

2. Геометрическое ,(j=1,2,...,n).

3. Пуассона ,(j=1,2,...,n).

3.Для каждого из этих распределений отношение двух соседних вероятностей выражается простой рекуррентной формулой

3.

1) , 2) , 3)

Рис. 8.6.

Поэтому текущие вероятности удобно вычислять, исходя из начальной :

1) , 2) , 3).

Каждая последующая вероятность получается из предыдущей умножением на

. Это приводит к такой схеме вычислений (рис.8.6.).

Итак, для имитации дискретной случайной величины необходимо произвести некоторое количество сравнений случайного числа U для выбора одного из отрезков, с которыми связываются значения случайной величины.

Рассмотрим пример, показывающий, что количество сравнений, определяющее скорость вычислений, зависит от расположения этих отрезков на интервале [0,1].

Пусть Х задается таблицей

Если интервал [ 0,1 ] разбить на четыре части в том порядке, в котором они указаны в таблице

то это приводит к следующей схеме вычислений (рис.8.7.)

Рис. 8.7

Обозначим через С количество сравнений для вычисления одного значения Х. Тогда С будет случайной величиной с законом распределения.

X
P	1/6	3/6	1/2

Среднее значение С определится

М[С] = 1/8 * 1 + 3/8 * 2 + 1/2 * 3 = 2,375

Переставим отрезки деления (рис.8.9)

Рис. 8.9

Перестановка приводит к следующей схеме вычисления (рис.8.10.)

Рис.8.10.

В этом случае закон распределения С принимает вид

C
P	3/8	3/8	1/4

М[С] = 3/8 * 1 + 3/8 * 2 + 1/4 * 3 = 1,875

Сравнение обеих способов показывает, что второй - быстрее.

Дата добавления: 2014-01-11