Метод обратной функции

ДАТЧИКИ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

План лекции

1. Метод обратной функции.

2. Метод исключения.

3. Моделирование нормального распределения.

4. Обобщенное распределение Эрланга

5. Треугольное распределение

6. Моделирование случайной величины со ступенчатой плотностью.

Пусть случайная величина Х задана своей функцией распределения

F(х) = Р[ X < х ]

Предположим, что F(х) монотонно возрастает на промежутке [а,в], F(а) = 0, F(в) = 1. Один или оба конца промежутка могут быть бесконечными. Тогда в силу монотонности уравнение будет иметь единственный корень и можно говорить об обратной функции, определяемой соотношением.

Пусть U равномерно распределенная на отрезке [0,1] случайная величина. Существует теорема, согласно которой

где f(х) = dF(х)/dх. Таким образом, можно говорить о функциональной связи Х =(U).

Предположим, что (U) - монотонная функция на интервале [0,1]. Тогда можно говорить об обратной функции U =(U). Найдем,

F(х) = Р[ Х<х ] = Р[(U) < х ] = Р[ U<(Х)] = F(U)

Здесь учтено, что неравенство (U) < х эквивалентно U<(Х). Так как

получим F(x)= (Х)=U

На этом основании имеем следующий метод имитации случайной величины Х с заданной функцией распределения F(х).

1) От ДСЧ получаем U.

2) Находим Х из уравнения F(х) = U

На практике встречаются случаи, когда это уравнение не имеет явных решений. В этом случае можно использовать какой-либо численный метод нахождения корня, либо иной метод имитации.

Пример. Рассмотрим алгоритм моделирования показательного распределения. Для показательного распределения величины Т функция распределения запишется

F(t) = 1 - exp(-T), (T>0),

где - параметр распределения, >0.

Значение Т вычисляется как решение уравнения:

1 - ехр(-Т) = u

где U - случайная величина, полученная от датчика случайных чисел.

Решение уравнения запишется

Т = -(1/)ln(1-u)

Поскольку 1-u и u имеют одно и тоже распределение, окончательно получим алгоритм имитации показательно распределенной величины

Т=(-1/)lnU

Дата добавления: 2014-01-11