Разностные уравнения первого порядка

Самыми простыми разностными уравнениями являются линейные разностные уравнения первого порядка. Самый общий вид линейного разностного уравнения первого порядка следующий

. (5.1)

Соответствующее однородное уравнение записывается в виде

. (5.2)

Из (5.2) имеем , откуда, при , получаем . Далее, . Продолжая дальше, окончательно имеем

. (5.3)

Любое решение уравнения (5.2) получается из (5.3) заданием начального условия . Таким образом, (5.3) есть общее решение уравнения (5.2). Обычно берут .

Если (5.1), а следовательно и (5.2) есть уравнения с постоянными коэффициентами, то есть имеют вид

,

,

то решение (5.3) принимает вид

.

Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (5.1). Отметим, что для линейных разностных уравнений имеется полный аналог теоремы о наложении решений и её следствий. Отметим некоторые из них.

1. Если и два решения уравнения (5.1), то их разность есть решение уравнения (5.2).

2. Любое решение уравнения (5.1) есть сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения уравнения (5.2), то есть имеет вид , где ‑ константа, а ‑ решение уравнения (5.2) при .

Пример 1. Банк принимает вклады под процентов годовых. Начисление процентов происходит ежемесячно. Вычислить, сколько будет денег на вкладе через год, если было положено рублей.

Решение. Начальное условие у нас . Через месяц на счёте будет . Через два месяца будет . Через год будет, соответственно, . Подставить конкретные числа предоставляется читателю.

Пример 2. Банк выдаёт кредит под процентов годовых. Погашение происходит ежемесячно. Вычислить, сколько будет выплачено денег в конце срока погашения, если было выдано рублей.

Задачу предлагается решить самостоятельно.

Дата добавления: 2014-01-11