Математическое ожидание. Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений значений этой случайной величины на соответствующие

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений значений этой случайной величины на соответствующие вероятности:

Математическое ожидание – это среднее значение данной случайной величины, центр ее распределения. Из определения следует, что M(X) − величина неслучайная, постоянная.

Пример 1. _________________________________________________________

Случайная величина Х задана законом распределения

Х
P	0,3	0,5	0,2

Вычислим ее математическое ожидание:

M(X) = 1∙0,3+2∙0,5+3∙0,2=0,3+1+0,6=1,9.

Свойства математического ожидания

1⁰. , где C − const.

2⁰. .

3⁰. .

Следствие: .

4⁰. , где C − const.

5⁰. , если X и Y независимы.

Пример 2._________________________________________________________

Найдем математическое ожидание случайной величины 5X−2Y+1, если известно, что M(X)=2, M(Y)=3. Используя свойства математического

ожидания, получим M(5X−2Y+1)= 5M(X)−2M(Y)+1= 5∙2−2∙3+1=5.

2. Дисперсия

Определение 1. Разность называется отклонением случайной величины Х от ее математического ожидания.

Эта разность также есть случайная величина. Пусть M(X)=a. Тогда случайная величина X−a имеет закон распределения:

Х− a	− a	− a	…	− a
P			…

Теорема. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю.

Определение 2. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от ее математического ожидания:

.

Если случайная величина Х − дискретная, то

.

Дисперсия характеризует рассеяние возможных значений случайной величины около ее математического ожидания.

Определение 3. Средним квадратическим отклонением случайной величины называется квадратный корень из дисперсии:

.

Из определения следует, что дисперсия есть постоянная величина.

Пример 3._________________________________________________________

Используя условие примера 1, убедимся, что математическое ожидание отклонения равно нулю. Для этого составим закон распределения случайной величины Х−M(Х): из всех значений Х вычтем M(X)=1,9.

Х−M(Х)	−0,9	0,1	1,1
P	0,3	0,5	0,2

Тогда, −0,9∙0,3+0,1∙0,5+1,1∙0,2=−0,27+0,05+0,22=−0,27+0,27=0.

Вычислим дисперсию и среднее квадратическое отклонение:

D(X)=(−0,9)²∙0,3+(0,1)²∙0,5+(1,1)²∙0,2=0,243+0,005+0,242=0,49;

.

Свойства дисперсии

1⁰. где − const.

2⁰. Если − случайная величина, .

3⁰. , .

4⁰. , если X и Y независимы.

Следствие: .

5⁰. .

Пример 4._________________________________________________________

Найдем дисперсию случайной величины 5X− 2Y+1, если известно, что D(X)=0,2, D(Y)=1, а X и Y − независимы. Используя свойства дисперсии, получим D(5X−2Y+1)=5² ∙D(X)+2² ∙D(Y)+0=25∙0,2+4∙1=9.

Формула для вычисления дисперсии. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата этой величины и квадратом ее математического ожидания.

Пример 5._________________________________________________________

Найдем дисперсию случайной величины Х из примера 1 по формуле.

Математическое ожидание уже вычислено в примере 1: M(X)=1,9.

M(X²) = 1²∙0,3+2²∙0,5+3²∙0,2 = 1∙0,3+4∙0,5+9∙0,2 = 4,1.

D(X) = M(X²) − M²(X) = 4,1−1,9² = 4,1−3,61= 0,49.

Дата добавления: 2014-01-11