КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Простейшие задачи векторной алгебры
Пусть на плоскости (в пространстве) задана декартова прямоугольная система координат. Выберем в пространстве () декартов прямоугольный базис ,, (,). Рассмотрим следующие задачи. ЗАДАЧА 1. Найти координаты вектора , если известны декартовы координаты начала и конца вектора. Пусть точки и лежат в плоскости и имеют координаты , . Рассмотрим векторы , и . Имеем: . Но , . Следовательно, . Аналогично получаем, что если и , , то .
ЗАДАЧА 2. Найти длину вектора, если известны его координаты в декартовом прямоугольном базисе. Пусть и . Имеем: , . Рассмотрим треугольник . Имеем: , , . Следовательно, по теореме Пифагора, , Þ . Аналогично получаем, что если и , то .
ЗАДАЧА 3. Известны координаты вектора. Найти координаты его орта. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ортом вектора называется вектор , сонаправленный с вектором и имеющий единичную длину. Пусть . Так как векторы и сонаправленны, то существует такое, что . Следовательно . Найдем . Имеем: , Þ . Таким образом, получаем: .
Координаты орта вектора имеют очень простой геометрический смысл. Обозначим через , и углы, которые вектор образует с координатными осями , и соответственно. , , называются направляющими косинусами вектора . Выразим направляющие косинусы вектора через его координаты. Имеем: Аналогично находим: , . Следовательно, , , . Таким образом, получили, что координаты орта вектора являются его направляющими косинусами. Замечание. Так как и , то . Это равенство называют основным тождеством для направляющих косинусов вектора. ЗАДАЧА 4. Известны координаты концов отрезка. Найти координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что точка делит отрезок в отношении если . Если , то точка лежит между точками и . В этом случае говорят, что точка делит отрезок во внутреннем отношении. Если , то точка лежит на продолжении отрезка и говорят, что точка делит отрезок во внешнем отношении. Пусть , и . Обозначим через , , – радиус-векторы точек , и соответственно. Тогда , . Так как , то , , , (1) или в координатной форме: , , . (2) В частности, если – середина отрезка , то , т.е. и формулы (1) и (2) примут вид: и , , . Замечание. Если точка лежит между точками и , то обычно говорят, что делит отрезок в отношении . В этом случае , а формулы (1) и (2) можно переписать в виде: и , , .
Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 541; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |