Cходимость рядов с произвольным распределением знаков

Для рядов с произвольным распределением знаков можно установить только достаточный признак, когда вопрос о сходимости можно свести к изучению сходимости положительного ряда.

Итак, изучаются ряды , где - величины положительные и отрицательные.

Теорема. Если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов: , то и данный ряд также сходится.

Действительно, обозначим положительные члены ряда . Ряд сходится, т.к. его частичные суммы монотонно возрастают и ограничены сверху суммой ряда . Таже сходится ряд, составленный из отрицательных : , т.е. сходится ряд . Тогда , где . При Поэтому существует предел - ряд сходится.

Определение. Если ряд сходится вместе с рядом , то говорят, что имеет место абсолютная сходимость ряда . Если же ряд сходится, а ряд расходится, то говорят о неабсолютной, или условной, сходимости ряда . Примеры: - абсолютно сходящийся ряд. Далее: - неабсолютно сходящийся ряд (условно сходящийся ряд).

Для установления абсолютной сходимости рядов можно применять все перечисленные выше достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

Дата добавления: 2014-01-11