Свойства равномерно сходящихся рядов

1. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда.

Пусть ряд равномерно сходится в некоторой области D, причем его члены являются непрерывными в D функциями. Тогда и сумма ряд S(x) будет непрерывной функцией в области D.

Для доказательства обозначим S _n(x) частичную сумму ряда и пусть r_n(x) - остаток ряда. Имеем по определению:

. Тогда . Берем произвольную точку x₀ Î D. Рассмотрим и составим приращение суммы ряда в точке x₀: . Далее, для модулей:

. Берем произвольное e>0. Подберем такое N, чтобы для всех n>N имели место неравенства: и

Тогда в D имеем: . Зафиксируем n и учтем при этом, что S_n(x) - непрерывная функция в точке x₀. Тогда можно подобрать x, близкое к x₀, чтобы . В итоге имеем неравенство , означающее в силу произвольности e непрерывность суммы ряда в произвольной точке x₀ области D, то есть и во всей области D.

2. Почленный переход к пределу.

Пусть в области D ряд сходится равномерно и его сумма равна S(x). Пусть существуют пределы , где a - точка области D. Тогда существует предел , причем (без доказательства).

3. Почленное интегрирование ряда.

Теорема. Если ряд из непрерывных функций u_n(x) сходится в области D: a £ x £ b равномерно, то сумму ряда S(x) можно интегрировать, причем

Таким образом, равномерно сходящийся ряд можно почленно интегрировать, причем проинтегрированный ряд будет сходиться. Имеем:

Берем "e>0. Докажем, что можно удовлетворить неравенству

подбирая n большим.

В силу равномерной сходимости ряда на отрезке a £ x £ b можно утверждать, что существует такое натуральное N, что при всех n >N,

. Тогда: , что и требовалось.

Итак, для равномерно сходящегося ряда имеем: .

4. Теорема о дифференцировании ряда.

Пусть ряд сходится к S(x) равномерно в области D: [ a, b ] и пусть функции (все, при любом n) непрерывны в этой области. Тогда если ряд сходится равномерно в этой же области D, то его сумма равна . По-другому, имеет место равенство:

Действительно, если ряд равномерно сходится в области [ a, b ], то можно взять произвольную точку x из этого отрезка, и если в этой точке имеет место равенство , то прежде всего будем иметь в виду, что j(x) непрерывна. Но тогда:

Следовательно, , что и требовалось доказать.

Заметим, что требования теоремы о почленном дифференцировании ряда могут быть ослаблены, на чем, однако, не останавливаемся.

Аналогичные свойства верны и для правильно сходящихся рядов.

Дата добавления: 2014-01-11