Свойства степенных рядов

1. Степенной ряд равномерно (правильно) сходится на любом замкнутом интервале [- b, b ], находящемся внутри интервала сходимости (- R, R). Действительно, берем любое x₀, лежащее между b и R: . Тогда для любого ряд мажорируется числовым рядом

, который сходится. Следовательно, и наш степенной ряд сходится равномерно по признаку Вейерштрасса.

2. Степенной ряд, составленный из производных

имеет тот же радиус сходимости R, что и исходный ряд . Это свойство легко доказывается в случае существования предела . Тогда что и требовалось.

Отсюда в частности следует, что все степенные ряды, получаемые почленным дифференцированием исходного ряда, имеют один и тот же радиус сходимости. Все эти ряды будут сходиться правильно на замкнутом отрезке, лежащем внутри интервала сходимости.

3. Сумма степенного ряда непрерывна в каждой точке x₀ интервала (- R, R) (ибо он сходится равномерно на отрезке [- x₀, x₀ ]). Рассмотрим пример ряда: = S(x). Функция S(x) разрывна только при x= 1,

но вне интервала сходимости она не является суммой ряда.

4. Степенные ряды можно почленно интегрировать в интервале сходимости (-R, R). Пусть a и b – точки, лежащие внутри (-R, R). Тогда будем иметь:

5. Степенные ряды можно почленно дифференцировать в любой точке интервала сходимости, причем будем иметь:

Дата добавления: 2014-01-11