Основные понятия формальной логики

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Москва 2010 г.

Логика: наука о формах и способах мышления.

Законы логики отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов окружающего мира. Логика позволяет строить формальные модели окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны.

Формы мышления: понятия, высказывания и умозаключения.
Понятие: форма мышления, которая выделяет существенные признаки объекта или класса объектов, отличающие его от других объектов.

Например, понятие «компьютер» объединяет множество устройств, обладающих функциями ввода данных, их хранения, обработки и вывода.

Понятие «студент»: множество молодых людей, имеющих среднее образование и обучающихся в высшем учебном заведении.

Две составляющих понятия: содержание и объём.

Содержание понятия: множество существенных признаков объекта, т.е. множество тех признаков, по которым данный объект выделяется среди множества существующих объектов.

Содержание понятия «персональный компьютер»: электронное устройство, обрабатывает данные при исполнении программы, используется одним человеком.

Объём понятия «персональный компьютер»: все существующие в мире аналогичные устройства.

Высказывание: форма мышления, в которой утверждается или отрицается связь между объектом и его признаком, отношения между объектами, факт существования объекта.

В математической логике Высказывания рассматриваются только с точки зрения их истинности или ложности, а не с точки зрения их смысла и содержания.

Высказывание может быть либо истинным, либо ложным.

На естественном языке высказывание представляется повествовательным предложением.

Истинным является высказывание, которое соответствует реальной действительности. "Дважды два равно четырем" - истинное высказывание, "стол предназначен для сидения" - ложное.

«Скоро Новый год.» Не высказывание, отсутствует объект и признак.

«Светает.» Не высказывание, отсутствует объект и признак.

«3+4*5» Не высказывание, отсутствует объект и признак.

«Первый летний месяц – июнь». Высказывание, т.к. присутствуют 2 объекта. Истинное высказывание, т.к. утверждение соответствует истине.

«Талант всегда пробьет себе дорогу». С точки зрения определения такой формы мышления, как высказывание, это предложение можно рассматривать, как высказывание. Однако математическая логика не рассматривает высказывания, которые могут быть либо истинными, либо ложными.

«Познай самого себя». Это предложение записано в повелительном наклонении и, по определению, не является высказыванием.

Истинность или ложность простых высказываний решается вне алгебры логики.

Высказывания могут быть простыми и сложными. "Весна наступила, грачи прилетели" - сложное высказывание, состоящее из двух простых. Простые высказывания (высказывания) выражают связь двух понятий. Сложные высказывания состоят из нескольких простых высказываний.

Равносильные высказывания: имеют одинаковые значения истинности.

Если высказывания А и В являются равносильными, то это утверждение записывается в виде: А=В.

Истинность или ложность сложного высказывания вычисляется с помощью алгебры логики.
Умозаключение: форма мышления, позволяющая на основе одного или нескольких высказываний получить новое высказывание (знание или вывод).
Примерами умозаключений являются доказательства теорем в геометрии. Основой умозаключения по правилам формальной логики могут быть только истинные высказывания. Тогда, если умозаключение строится в соответствии с правилами формальной логики, то это умозаключение будет истинным. Иначе можно прийти к ложному умозаключению.

Математическая логика: раздел математики, который изучает вопросы применения математических методов для решения логических задач и построения логических схем, которые лежат в основе работы любого компьютера.

Алгебра: раздел математики для описания действий над переменными.

Алгебра логики (алгебра высказываний, булева алгебра – по имени учёного Дж. Буля, сформулировавшего основы алгебры логики): раздел математики для описания действий над логическими переменными.

Алгебра логики создана для определения истинности или ложности сложных высказываний без рассмотрения их смысла (содержания).

Данные любых типов – числа, текст, графика, звук - представляются в компьютерах числами в двоичной системе счисления с цифрами 0 и 1. Технически это реализуется в виде устройства - триггера, имеющего 2 устойчивых состояния, которые тоже обозначаются, как «0» и «1».

Состояние триггера зависит от того, подан на него сигнал или не подан. Факт подачи сигнала обозначается 1. Триггер изменяет своё состояние под воздействием сигнала. Факт отсутствия сигнала обозначается 0. Триггер не изменяет своё состояние, пока на него не будет подан сигнал.

Выполнение арифметических операций в двоичной системе счисления описывается средствами алгебры логики.

Дата добавления: 2014-01-11