Похідна зворотної функції. Похідні зворотних тригонометричних функцій

Похідна складної функції

Найпростіші правила обчислення похідної

Поняття диференціалу функції

Нехай функція визначена на,, диференційована в точці, тобто в околі точки представляється відповідно до (5):

.

Різниця називається прирістом функції в точці, а прирістом аргументу. В отриманих позначеннях попередня формула буде мати вигляд:

Визначення 5. Диференціалом функції в точці називається лінійна функція

.

Диференціал – це лінійна частина прирісту функції. Диференціал функції сам є функцією.

Приріст аргументу також називають диференціалом незалежної змінної і позначають:

.

Тоді

.

Приклад. Знайти диференціал функції в довільній точці. Для цього треба:

1. Знайти вираз для прирісту функції в точці;

2. В виразі для прирісту функції в точці знайти лінійну частину, тобту ту частину, яка містить в першому степені;

3. Для тої частини прирісту функції, яка залишилася після виділення лінійної частини, довести, що вона є нескінченно малою, порядку вищого за, коли;

4. Якщо третій крок виконано, то лінійна частина прирісту функції, знайдена на другому кроці, і є диференціалом функції в точці.

Зробимо послідовно дії всіх чотирьох кроків для функції:

1.

2. Лінійна частина отриманого прирісту функції - це. В цьому доданку знаходиться у першому степени, а в інших доданках - і показники степені при відповідно 2 і 3.

3. Після виділення лінійної частини прирісту залишилось:. Перевіримо, що. Для цього обчислимо:

.

Оскільки обчислена границя дорівнює 0, то дійсно.

Таким чином

.

Нехай функції і визначені на інтервалі і диференційовані в точці. Тоді

1. Функції теж диференційовані в точці і

;

2. Функція, де, диференційована в точці і

;

3. Функція диференційована в точці і

;

4. Функція диференційована в точці і

, де.

Приклад. Знайти, якщо.

Нехай на визначена складна функція.

Теорема 3. Нехай внутрішня функція диференційована в точці, а зовнішня функція диференційована в відповідній точці. Тоді складна функція диференційована в точці, і

.

Приклад. Функція є складною: внутрішня функція, зовнішня функція. За попередньою теоремою похідна складної функції є добутком похідної зовнішньої функції, аргументом якої буде внутрішня функція, і похідної внутрішньої функції:

Теорема 4. Нехай функція визначена, неперервна, строго монотонна на. Якщо диференційована в точці і, то зворотна функція буде диференційованою у відповідній точці, до того ж

.

Доказ. За умовами теореми зворотна функція існує і неперервна на множині значень функції. Побудуємо різницеве відношення для функції в точці:

. (7)

Перейдемо до границі в рівності (7), коли. Врахуємо, що завдяки неперервності зворотної функції маємо:, тобто при і. Тоді

,

тобто

,

що й потрібно було довести.

Приклад. Треба обчислити похідну для функції. Для функції. Зворотна функція:. Для відомо:. Тоді за попередньою теоремою:

. (8)

Але для подальшого використання похідної зручніше мати її вираз через змінну, від якої залежить сама функція. Для цього згадаємо, що, а тоді

(9)

(знак «+» перед визначається тим, що, а для таких кутів косінус додатний). Підставляючи (9) в (8), отримаємо:

.

Завдання. Довести, користуючись теоремою 4, що

;

;

.

Дата добавления: 2014-01-11