Критерий монотонности дифференцированной функции

Критерий постоянства функции

Правило Лопиталя

Формула Тейлора

Достаточное условие строгой монотонности функции

Критерий монотонности дифференцированной функции

Критерий постоянства функции

Правило Лопиталя

План

Лекция 12. Монотонные дифференцированные функции

Пусть функции и определены и дифференцированы на,,. Пусть

и,

или

и,

т.е. для имеем неопределенность типа или, но при этом существует

,

тогда существует и

.

Пример. Вычислить. В этом примере неопределенность типа, то есть применять правило Лопиталя здесь сразу нельзя, но если выполнить вычитание, то получим:

,

и

.

Теперь можно попробовать применить правило Лопиталя. Обозначим функцию в числителе

,

функцию в знаменателе

.

Тогда

,,

а

Поскольку существует, то по правилу Лопиталя существует и рассматриваемый предел

.

Функция, где, называется постоянной функцией. Для постоянной функции, которая определена на некотором множестве выполняется условие: для:.

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие постоянства функции). Пусть функция определена и дифференцирована на. Для того, чтобы была постоянной на этом интервале необходимо и достаточно, чтобы

для.

Доказательство. Необходимость. Пусть, где, тогда по правилам вычисления производных:

для.

Достаточность. Пусть для. Покажем, что тогда, т.е. что для:. Если рассмотреть функцию на, то на этом сегменте удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа, поэтому для нее имеет место формула Лагранжа:

, де.

Поскольку для, то, а потому

.

Определение 1. Пусть функция определена на. Эта функция называется монотонно возрастающей (убывающей) на, если для из того, что вытекает, что ().Функция будет строго монотонно возрастающей (строго убывающей) на, если для из того, що вытекает, что ().

Пример. Функция строго монотонно возрастает на множестве, строго монотонно убывает на множестве.

Теорема 2 (необходимое и достаточное условие монотонности функции). Пусть функция определена и дифференцирована на. Для того, чтобы монотонно возрастала (убывала) на этом интервале необходимо и достаточно, чтобы

() для.

Доказательство. Докажем теорему для случая монотонного возрастания функции.

Необходимость. Пусть монотонно возрастает на. Покажем, что для. Возьмем. Для вычисления производной построим разностное отношение для в точке и вспомним, что поскольку существует в по условию теоремы, то. Учитывая это:

,

что и нужно было доказать.

Достаточность. Пусть для. Покажем, что монотонно возрастает на. Возьмем произвольно и так, что. Рассмотрим функцию на сегменте. На этом сегменте она удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа, поэтому, что

,

что говорит о монотонном возрастании функции на.

Замечание. Если функция строго монотонно возрастает на, из этого не вытекает, что.

Пример. Функция строго монотонно возрастает на всем множестве (по определению), поскольку большему значению аргумента отвечает большее значение функции, но производная и может равняться нулю:.

Дата добавления: 2014-01-11