Наименьшее и наибольшее значения функции на сегменте

Второе и третье достаточные условия локального экстремума

Теорема 2 (второе достаточное условие локального экстремума). Пусть функция определена на,, и выполняются условия:

1.;

2. существует,

тогда имеет локальный экстремум в точке, а именно

- локальный максимум, если;

- локальный минимум, если.

Второе достаточное условие является частным случаем третьего достаточного условия локального экстремума.

Пусть функция определена на и раз дифференцирована в точке, и выполняются условия:

,

(1)

.

Воспользуемся для формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:

,,

которая, учитывая условия (1), принимает вид:

,. (2)

Запишем остаточный член в следующем виде:

, де.

Тогда из (2) получим:

. (3)

Поскольку, то для любых, достаточно близких к имеем:

.

Рассмотрим два возможных случая для значения.

1. Пусть - четное, т.е.. Допустим, что. Тогда при переходе через правая часть (3) будет сохранять знак «+», то есть при всех, достаточно близких к, имеем:

,

т.е. в точке функция имеет локальный минимум.

Аналогично получим, что когда и, то имеет в точке локальный максимум.

2. Пусть - нечетное, т.е.. Допустим, что. Тогда для в достаточно малой окрестности имеем:

, (4)

а для в достаточно малой окрестности имеем:

. (5)

Из (4) и (5) вытекает, что экстремума в точке нет.

Мы доказали следующую теорему.

Теорема 3 (третье достаточное условие локального экстремума). Пусть функция определена на, раз дифференцирована в точке, и выполняются условия (1). Тогда если - четное, то имеет локальный экстремум в точке (локальный максимум, когда, локальный минимум, когда). Если - нечетное, то экстремума в точке нет.

Пусть функция определена и непрерывна на, дифференцирована в, за исключением конечного количества точек. По первой и второй теоремам Вейерштрасса она ограничена и достигает на этом сегменте своих точных верхней и нижней границ, которые являются ее наибольшим и наименьшим значениями на этом сегменте. Надо эти значения найти.

Допустим, что не имеет на точек, где, или не существует. Это означает, что сохраняет свой знак везде на, а функция - строго монотонна на. Тогда наименьшее и наибольшее значения она будет принимать на концах сегмента.

Если на сегменте имеет конечное число точек, где не существует или равняется нулю, то эти точки разбивают сегмент на частичные сегменты:, в каждом из которых уже нет таких точек, где или не существует, а потому - строго монотонна на каждом из, а потому наименьшее и наибольшее значения она будет принимать на концах.

Таким образом, для того, чтобы найти наименьшее и наибольшее значения непрерывной на сегменте функции надо:

1. Найти производную функции на;

2. Найти все стационарные точки функции, и точки, в которых не существует, которые принадлежат. Обозначим эти точки;

3. Вычислить значения;

4. Сравнить все значения, полученные на предыдущем шаге, и выбрать из них наименьшее и наибольшее.

Пример. Для функции найти ее наименьшее и наибольшее значения на сегменте. На функция является непрерывной. Выполним последовательно все 4 вышеперечисленные действия:

1.;

2. Производная не существует там, где ее знаменатель равняется 0:

.

Стационарные точки функции определяются при решении уравнения:

.

Таким образом, на следующем шаге надо будет вычислить значения функции в точках:.

3..

4. Выбираем наибольшее и наименьшее значения из полученных на предыдущем шаге. Наибольшее значение на сегменте функция принимает в точке, и это значение, наименьшее значение -.

Дата добавления: 2014-01-11