Інтегрування раціональних функцій. Метод невизначених коефіцієнтів

Метод інтегрування за частинами

Теорема 3. Нехай функції визначені і диференційовані на, — неперервні на, і функція має первісну на цьому інтервалі. Тоді функція також має первісну на і виконується рівність:

, (3.9)

чи, враховуючи, що, а, формулу (3.9) можна записати в еквівалентному вигляді:

. (3.10)

Формули (3.9), (3.10) називаються формулами інтегрування за частинами.

Доказ. За правилом обчислення похідної добутку:

. (3*)

Враховуючи властивість 1 невизначеного інтеграла, при інтегруванні лівої частини (3*) отримаємо:

.

Після інтегрування правої частини (3*) маємо:

.

Таким чином:

.

Метод інтегрування за частинами часто використовується у випадках, коли підінтегральний вираз у якості множників одночасно містить: степеневу () і тригонометричну (і т.д.) функції; степеневу і зворотну тригонометричну (і т.д.); показникову () і тригонометричну; логарифмічну і тригонометричну (чи зворотну тригонометричну) і т.д.

Приклад. Обчислити.

Підінтегральний вираз містить три множники:. Як розбити цей вираз на частки і, які фігурують у правій частині (3.10)? Ясно, що множник може опинитися лише в, а для двох інших множників можливі варіанти:, тоді, чи, тоді. Розглянемо обидва варіанти.

. (3.11)

Треба відмітити, що при відновленні функції за допомогою операції, достатньо взяти лише одну первісну. В нашому прикладі ми обираємо в конкретному вигляді:, а не в загальнім виді:. Довільна стала при обчисленні невизначеного інтегралу враховується в остаточному його виразі.

Зроблена розбивка підінтегрального виразу на частки привела до значного його спрощення — табличного інтегралу в правій частині (3.11). Таким чином:

. (3.12)

Подивимось, як вплине на складність обчислень інший варіант розбивки, згаданий вище:

(3.13)

Формула інтегрування за частинами використовується взагалі з метою спрощення підінтегрального виразу, але, як видно з правої частини (3.13), в даному випадку ми не спростили, а ускладнили інтеграл. Зрозуміло, що з двох можливих варіантів розбивки треба обирати перший.

Визначення 2. Раціональною будемо називати функцію, яка представляється у вигляді:

,

де — многочлени степені відповідно.

Раціональна функція називається правильною (неправильною), якщо (). Кожну раціональну функцію (раціональний дріб) можна представити в вигляді суми многочлена і правильної раціональної функції. Для цього в неправильному раціональному дробі треба поділити чисельник на знаменник.

Таким чином, для розв’язання питання інтегрування раціональних функцій достатньо детально розглянути інтегрування лише правильних раціональних функцій, бо інтегрування многочленів не викликає труднощів.

Визначення 3. Найпростішими раціональними функціями називаються функції таких 4-х типів:

І., ІІ., ІІІ., ІV.

де — дійсні числа, а многочлен не має дійсних коренів, тобто. Кожна з цих функцій є інтегрованою:

І.; (4.1)

ІІ.; (4.2)

ІІІ.

; (4.3)

ІV. (4.4)

Першій з інтегралів в правій частині легко обчислюється:

.

Розглянемо докладно обчислення другого інтегралу:

Виведемо рекурентну формулу для обчислення інтегралів за допомогою методу інтегрування за частинами:

.

Останній інтеграл можна перетворити наступним чином:

.

Підставляючи цей вираз в попередню рівність, отримаємо співвідношення:

.

Розвязуючи останню рівність відносно, отримаємо:

(3.20)

Формула (3.20) є рекурентною формулою для обчислення інтегралів виду. Вона зводить обчислення до обчислення інтегралу з попереднім номером. Так — це табличний інтеграл (беремо одне з значень первісних):

. (3.21)

Користуючись (3.21), обчислимо за допомогою (3.20):,.

.

Для —:

=

,

і т.д. Таким чином можна обчислити інтеграл для будь-якого натурального показника. Таким чином функції ІV-го типу також є інтегрованими. З усього витікає

Висновок: Кожна раціональна функція має первісну.

Теорема 4. Кожен правильний раціональний дріб, може бути представлений у вигляді суми скінченної кількості найпростішіх раціональних функцій, а тому має первісну.

Розкладання правильного дробу на прості дроби пов’язане з розкладанням знаменника на прості множники. Як відомо з алгебри, кожен многочлен з дійсними коефіцієнтами розкладається на дійсні множники типа, при цьому припускається, що квадратичні множники не мають дійсних коренів, а тому не розкладаються на дійсні лінійні множники.Об’єднуючи однакові множники, якщо такі є, і припускаючи для спрощення старший коефіцієнт рівним одиниці, можна схематично записати розкладання цього многочлена у вигляді:

,

де — натуральні числа.

Якщо при розкладанні на множники знаменника дробу множник входе до лише в першій степені, то йому при розкладанні на найпростіші буде відповідати один дріб —

.

Якщо серед множників присутній,, то при розкладанні йому буде відповідати сума найпростіших дробів:

,

де — дійсні сталі.

Квадратичному множнику в розкладанні поставимо в відповідність при розкладанні на найпростіші один дріб вида ІІІ

,

якщо входе до в першій степені, і суму з найпростіших дробів

,

якщо цей множник входе з показником. Тут, — дійсні сталі.

Приклад. Розкласти на суму найпростіших раціональних функцій дріб

.

Знаменник дробу вже розкладений на прості множники:. Множнику буде відповідати сума з 3-х найпростіших дробів, оскільки показник степені при дорівнює 3:

,

множнику — сума з 2-х найпростіших дробів, бо показник степені при дорівнює 2:

,

множнику — сума з 3-х найпростіших дробів, оскільки показник степені при дорівнює 3:

.

Таким чином:

,

де — дійсні коефіцієнти, які докищо є невідомими.

Для визначення невідомих коефіцієнтів треба:

1. Привести всі отримані найпростіші раціональні функції до спільного знаменника, скласти їх;
2. Прирівняти чисельники, які є многочленами, отриманного після складання найпростіших функцій дробу і поданого раціонального дробу. Два многочлени є рівними, коли співпадають коефіцієнти при однакових степенях;
3. Прирівняти коефіцієнти при однакових степенях многочленів в чисельниках. Результатом буде система лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів розкладання поданої раціональної функції на суму найпростіших;
4. Розв’язати отриману систему.

Розкладання правильної раціональної функції на суму найпростіших дає можливість для її інтегрування за допомогою формул (4.1) — (4.4).

Приклад..

Підінтегральна функція є правильним раціональним дробом: степінь многочлена чисельника дорівнює 2, а знаменника — 5. Для інтегрування спочатку розкладемо підінтегральну функцію на суму найпростіших дробів. Знаменник містить прості множники. Множнику відповідає сума 2-х доданків (показник степені при дорівнює 2):

,

а множнику — один дріб

.

Таким чином

. (4.5)

Знайдемо невідомі коефіцієнти. Для цього приведемо всі дроби в правій частині до спільного знаменника:

,

тоді рівність (4.5) буде мати вигляд:

.

З рівності чисельників

витікає рівність коефіцієнтів многочленів при однакових степенях:

Звідки

.

Таким чином:

. (4.6)

Користуючись формулою (4.6), проинтегруємо подану раціональну функцію:

.

За допомогою (4.1) — (4.4) отримаємо:

.

Дата добавления: 2014-01-11