Необходимое условие интегрированности функции по Риману

Построение интегральной суммы. Определение интеграла Римана

Простейшие свойства сумм Дарбу. Крайние интегралы Дарбу

Суммы Дарбу. Связь между интегральными сумами и сумами Дарбу

Необходимое условие интегрированности функции по Риману

Построение интегральной суммы. Определение интеграла Римана

План

Лекция 15. Определенный интеграл Римана

Пусть функция определена на. Пусть определено множество точек. Каждый такой набор будем называть разбиением сегмента на частичные сегменты иобозначать:

.

Определение 1. Диаметром разбиения будем называть самую большую из длин частичных сегментов:

.

Пусть - разбиение:. Выберем в каждом частичном сегменте произвольно точку, вычислим и построим сумму:

(10)

Сумма (10) называется интегральной суммой для функции на, которая отвечает заданному разбиению и заданному выбору точок. Понятно, что для функции на существует бесконечное множество интегральных сумм даже для заданного разбиения благодаря произвольности точек.

Геометрический смысл интегральной суммы.

Как видно из рис.1, - это площадь прямоугольника, длина одной стороны которого равняется, а высота – это. Тогда интегральная сумма (10) - это площадь ступенчатой фигуры, изображенной на рис.1.

Определение 2. Говорят, что число является пределом интегральных сумм (10), когда, еслидля такое, что будет выполняться неравенство:

(20)

для любого выбора точек (то есть предел не зависит ни от того, как именно сегмент разбивается на частичные сегменты, ни от того, как именно выбираются. В этом случае будем писать, что

. (30)

Существует еще одно определение предела интегральных сумм в терминах последовательностей:

Определение 3. Говорят, что число является пределом интегральных сумм (10), когда, если для любой последовательности разбиений сегмента, для которой, соответствующая последовательность интегральных сумм (10) стремится к: независимо от выбора точек.

Определение 4. Если предел (30) существует, то функцию называют интегрированной по Риману на, а число называют ее интегралом Римана и обозначают:

. (40)

Из определения 4 вытекает, что геометрический смысл интеграла Римана – это площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, прямыми, и осью ОХ (рис.2).

Теорема 1. Пусть функция определена и интегрирована по Риману на, тогда ограничена на.

Доказательство. Предположим, что функция определена и интегрирована по Риману на, но не ограничена на. Возьмем произвольное разбиение:. Поскольку не ограничена на, то она не ограничена хотя бы на одном частичном сегменте. В каждом частичном сегменте,, (то есть за исключением) выберем промежуточные точки. Построим сумму:

.

Тогда интегральную сумму можно записать в виде:

.

Поскольку по предположению не ограничена на, то сумму можно сделать путем выбора точки как угодно большой, а это означает, что не имеет конечного предела, а потому функция не интегрирована по Риману на. Получили противоречие, поэтому предположение о неограниченности функции ложно.

Пример. Будет ли интегрированной по Риману на своей области определения функция:

Область определения функции - сегмент. На этом сегменте является неограниченной (рис.3), а потому неинтегрированной по Риману.

Дата добавления: 2014-01-11