Побудова інтегральної суми. Визначення інтеграла Римана

Найпростіші властивості сум Дарбу. Крайні інтеграли Дарбу

Суми Дарбу. Звязок між інтегральними сумами і сумами Дарбу

Необхідна умова інтегрованості функції за Риманом

Побудова інтегральної суми. Визначення інтеграла Римана

План

Лекція 15. Визначений інтеграл Римана

Вопросы

1. Что называется разбиением сегмента? Сколько разных разбиений может иметь сегмент?

2. Что называется диаметром разбиения сегмента?

3. Как связаны между собой величина диаметра разбиения и количество частичных сегментов, образованных во время разбиения?

4. Что такое интегральная сумма для заданной функции на сегменте? Геометрический смысл интегральной суммы.

5. Сколько разных интегральных сумм существует для функции при заданном разбиении сегмента?

6. Что называется интегралом Римана для функции на сегменте?

7. Когда функцию называют интегрированной по Риману на?

8. Необходимое условие интегрированности функции по Риману.

9. Определение нижней и верхней сумм Дарбу.

10. Сколько существует нижних и верхних сумм Дарбу при заданном разбиении сегмента?

11. Когда суммы Дарбу являются одновременно интегральными суммами?

12. Свойства сумм Дарбу.

13. Крайние интегралы Дарбу, их свойства.

Нехай функція визначена на. Нехай визначена множина точок. Кожен такий набір будемо називати розбивкою сегмента на часткові сегменти і позначати:

.

Визначення 1. Діаметром розбивки будемо називати найбільшу з довжин часткових сегментів:

.

Нехай - розбивка:. Оберемо в кожнім частковім сегменті довільно точку, обчислимо і побудуємо сумму:

(10)

Сума (10) називається інтегральною сумою для функції на, яка відповідає заданій розбивці і заданому вибору точок. Зрозуміло, що для функції на існує безліч інтегральних сум навіть для заданої розбивки завдяки довільності точок

Геометричний зміст інтегральної суми.

Як видно з рис.1, - це площа прямокутника, довжина одної сторони якого дорівнює, а висота – це. Тоді інтегральна сума (10) – це площа ступінчастої фігури, зображеної на рис.1.

Визначення 2. Кажуть, что число є границею інтегральних сум (10), коли, якщодля таке, що буде виконуватися нерівність:

(20)

для будь-якого вибору точок (тобто границя не залежить ні від того, як саме сегмент розбивається на часткові сегменти, ні від того, як саме обираються. В цьому випадку будемо писати, що

. (30)

Існує ще одне визначення границі інтегральних сум в термінах послідовностей:

Визначення 3. Кажуть, что число є границею інтегральних сум (10), коли, якщодля будь-якої послідовності розбивок сегмента, для якої, відповідна послідовність інтегральних сум (10) прямує до: незалежно від вибору точок.

Визначення 4. Якщо границя (30) існує, то функцію називають інтегрованою за Риманом на, а число називають її інтегралом Римана і позначають:

. (40)

З визначення 4 витікає, що геометричний зміст інтегралу Римана – це площа криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції, прямими, і віссю ОХ (рис.2).

Дата добавления: 2014-01-11