Динамічна система та її математична модель

Під динамічною системою розуміють будь-який об'єкт або процес, для якого однозначно визначене поняття стану як сукупності деяких величин у цей момент часу й заданий закон, що описує еволюцію початкового стану у часі. Цей закон дозволяє по початковому стану прогнозувати майбутній стан динамічної системи, його називають законом еволюції.

Динамічні системи – це економічні, механічні, фізичні, хімічні й біологічні об'єкти, обчислювальні процеси й процеси перетворення інформації, які відбуваються за конкретними алгоритмами. Описи динамічних систем для завдання закону еволюції також різноманітні: за допомогою диференційних рівнянь, дискретних відображень, теорії графів, теорії марковських («будущее» процесса не зависит от «прошлого» при известном «настоящем»; другая трактовка (Вентцель): «будущее» процесса зависит от «прошлого» лишь через «настоящее») і т.д.

Вибір одного зі способів опису задає конкретний вид математичної моделі відповідної динамічної системи.

Математична модель динамічної системи вважається заданою, якщо введені параметри (координати) системи, що визначають однозначно її стан, і зазначений закон еволюції. Залежно від ступеня наближення досліджуваній фізичній або економічній системі можуть бути поставлені у відповідність різні математичні моделі.

Дослідження реальних систем зводиться до вивчення математичних моделей, удосконалення й розвиток яких визначаються аналізом експериментальних і теоретичних результатів при їхньому співставленні. У зв'язку із цим під динамічною системою ми будемо розуміти саме її математичну модель. Досліджуючи ту саму динамічну систему (приміром, рух маятника), залежно від ступеня обліку різних факторів ми одержимо різні математичні моделі.

Як, приклад, розглянемо модель нелінійного консервативного осцилятора:

x(t) ― это угол отклонения маятника в момент t от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах.

При малих x £ 1 sinx = x. Зі збільшенням x враховуємо другий, третій й т.д. члени ряду, щоб із заданою точністю апроксимувати sinx. Тому у випадку x £ 1 ми одержуємо найпростішу модель математичного маятника:

Наступним наближенням буде модель нелінійного маятника:

і т.д. Для кожного конкретного значення n будемо одержувати нову динамічну систему, яка описує процес коливань фізичного маятника у заданому наближенні.

Дата добавления: 2014-01-11