Остовные деревья

Рассмотрим неориентированный связный граф. Остовное дерево – подграф, являющийся деревом и содержащий все его вершины. Для графа в левой части рисунка справа показаны примеры остовных деревьев

B B B

A C A C A C

D D D

E E E

Здесь рассматриваются свободные (бескорневые) деревья, в которых корнем можно считать любую вершину.

Ряд практических задач связан с нахождением остовных деревьев. Например, множество населенных пунктов требуется связать между собой дорогами, телефонной связью, водопроводом и т. п. Если в графе заданы стоимости ребер, то встает естественная задача нахождения остовного дерева с минимальной суммарной стоимостью ребер. Наиболее распространены два алгоритма нахождения остовных деревьев: Прима и Крускала [4, 14].

Алгоритм Прима начинает построение минимального остовного дерева U с включения в него произвольной вершины u. Далее находится ребро (u, v) минимальной стоимости, связывающее множество вершин U с вершинами, не входящими в U. Вершина v и ребро (u, v) включаются в U. Процесс продолжается, пока в U не войдут все вершины графа.

Рассмотрим для примера следующий граф.

6 5

1

5 5

3 2

6 4

7

Пусть выбрана начальная вершина 1. В остовное дерева будут последовательно добавляться вершина 3 и ребро (1, 3), вершина 6 и ребро (3, 6), вершина 4 и ребро (6, 4), вершина 2 и ребро (3, 2), вершина 5 и ребро (2, 5). Получим следующее минимальное остовное дерево

1

5

3 2

Трудоемкость алгоритма Прима пропорциональна N², где N – число вершин графа.

В алгоритме Крускала первоначально считается, что граф состоит из N компонент, представленных вершинами графа. На каждом шаге добавляется ребро минимальной стоимости, соединяющее две разные компоненты. Эти компоненты объединяются. В конце остается единственный компонент, который и будет являться минимальным остовным деревом.

В приведенном примере к вершинам графа будут добавляться ребра в порядке (1, 3), (4, 6), (2, 5), (3, 6), (2, 3). В результате получается то же минимальное остовное дерево, что и в алгоритме Прима.

Трудоемкости алгоритма пропорциональна M*ln M при условии применения рационального алгоритма сортировки ребер по их стоимости. Если M существенно меньше N², то есть граф разреженный, то выгоднее применение алгоритма Крускала, а не Прима.

Дата добавления: 2014-01-11