Прямая и плоскость в пространстве

1) Углом между прямой и плоскостью ax + + by + cz + d = 0 называется угол , образованный направляющим вектором прямой и его проекцией на плоскости:

.

2) – условие перпендикулярности прямой и плоскости.

3) – условие параллельности прямой и плоскости.

Пример 4.19. Найти угол между прямой и плоскостью .

Решение. Направляющий вектор прямой , вектор нормали к плоскости . Поэтому

.

Следовательно, угол между прямой и плоскостью .

Пример 4.20. Найти точку пересечения прямой и плоскости:

а) и ;

б) и .

Решение. а) Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости необходимо решить систему уравнений, составленную из уравнений прямой и плоскости:

Полученная система решается очень просто. Подставляя в уравнение плоскости уравнения прямой, получаем:

Следовательно, координаты точки пересечения такие: , , , т. е. точкой пересечения данной прямой и плоскости будет точка A (3, 1, 1).

б) Вначале перейдем от канонических к параметрическим уравнениям прямой:

Далее аналогично заданию а):

Следовательно, координаты точки пересечения такие: , , , т. е. A (– 14, – 11, – 2) – точка пересечения прямой и плоскости.

Пример 4.21. Показать, что прямая параллельна плоскости 2 x + y – z = 0, а прямая лежит в этой плоскости.

Указание. Если прямая параллельна плоскости, то ни одна точка прямой не принадлежит плоскости, а если прямая лежит в плоскости, то каждая точка прямой принадлежит плоскости. Этим можно воспользоваться при решении задачи.

Решение. - направляющий вектор прямой - нормаль плоскости, , следовательно, прямая параллельна плоскости. Точка прямой М ₀(-1,-1,3) вне плоскости, т.к. 2·(-1) +(-1) -3 ≠ 0. Вторая прямая лежит в этой плоскости, т.к. она параллельна плоскости и ее точка М ₁(-1,-1,-3) принадлежит плоскости: 2·(-1) +(-1) – (-3) = 0.

Пример 4.22. Составить общее уравнение плоскости, содержащей точку А(1; 2; 3) и перпендикулярной прямой

.

Решение.

В качестве вектора нормали плоскости можно взять любой вектор, коллинеарный направляющему вектору данной прямой. Положим, для определенности, = (4; 3; 2). Тогда общее уравнение плоскости запишется следующим образом:

4 x + 3 y + 2 z + d = 0.

Из условия того, что точка A лежит на плоскости, находим d = − (4 · 1 + 3 · 2 + 2 · 3) = −16.

Следовательно, уравнение плоскости имеет вид:

4 x + 3 y + 2 z – 16 = 0.

Пример 4.23. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку М (3; 4; 5).

Решение. Точка М лежит на искомой плоскости. Следовательно, уравнение искомой плоскости имеет вид a(x -3) + b(y -4) +c(z -5) = 0. Остается найти нормальный вектор . Точка А (2; 3; 4) лежит на прямой, а значит, и на плоскости. Подставим координаты точки А в уравнение плоскости: - a – b – c = 0. С другой стороны, направляющий вектор прямой перпендикулярен вектору , т.к. прямая лежит в плоскости. Следовательно, , а значит, 1· a +2· b +3· c = 0. Остается решить систему уравнений

Дата добавления: 2014-01-11