Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Пусть задана функция f(x), непрерывная на отрезке [ a, b ].

Тогда она интегрируема на любом отрезке [ a, x ], где x [ a, b ].

Очевидно, что определенный интеграл в пределах от a до x является функцией от переменной x.

Эта функция Ф(x) называется определенным интегралом с переменным верхним пределом:

Ф(x) =, z [ a, b ],

здесь переменная интегрирования обозначена буквой z, чтобы отличить ее от обозначения верхнего предела.

Очевидно, что изменение обозначения переменной интегрирования не отражается на величине определенного интеграла.

Функция Ф(x) обладает следующими свойствами:

1. Если f(x) интегрируема в промежутке [ a, b ], то Ф(x) будет непрерывной функцией в этом промежутке.

2. Если функция f(x) непрерывна в точке z = x, то производная функции Ф(x) в этой точке существует и равна f(x):

Ф (x) = , x [ a, b ].

Таким образом, для непрерывной в промежутке [ a, b ] функции f(x) функция Ф(x) оказывается ее первообразной.

Дата добавления: 2014-01-11