Движение материальной точки

Нескольких переменных

Технические задачи, приводящие к понятию функции

Рассмотрим несколько примеров.

Лыжник покидает трамплин, составляющий угол с горизонтом, с начальной скоростью V 0. Установить, от каких параметров зависит дальность полета L (рис. 4.1).

Дальность полета, если пренебречь сопротивлением воздуха, выражается известной формулой:

здесь g – ускорение свободного падения (g = 9,8 м/с²).

Для каждой пары значений V ₀и эта формула дает определенное значение L, т.е. дальность полета зависит от начальной скорости и начального угла: L является функцией двух переменных :

.

Расчет подъемного крана

Установить, от каких параметров подъемного крана: собственный вес – Р, высота – h, расстояние между колесами (база) – 2, вылет стрелы – (>), зависит максимальная нагрузка G, при которой сохраняется равновесие (рис. 4.2).

На рисунке показана расчетная схема крана: его центр тяжести лежит на линии CD (весом стрелы пренебрегаем по сравнению с весом крана).

Силы, действующие на кран: вес крана, вес груза, сила реакции опоры в точке А, сила реакции опоры в точке В.

Условие равновесия рычага – сумма моментов всех сил, действующих на кран, относительно точки В равна нулю:

| |– || (L – ) – | _A|(2) = 0.

Обозначим: ||= G, ||= P.

При опрокидывании | A| = 0, G = G_max:

G_max = P /(L – ).

G_max − максимальная нагрузка, при достижении которой равновесие нарушается.

Видим, что величина максимальной нагрузки зависит от трех параметров: веса крана P, базы и вылета стрелы, то есть является функцией (зависимой величиной) трех независимых переменных величин, и можно записать: G = f (P, ,) – каждой тройке чисел (P, ,) функция ставит в соответствие число G_max. Варьируя независимыми переменными, можно запроектировать кран для заданной максимальной нагрузки, исходя из технических условий.

Cиловой расчет параметров процесса резания

При точении детали срезаемый слой металла давит на резец с силой, которая называется силой резания . Ее составляющие в системе координат х,у,z (рис. 4.3) называют главной Pz, радиальной Py и осевой Рx.

Величины этих сил определяют по эмпирическим формулам:

,

где C_P, K_P, x_P, y_P, n _P – постоянные величины, зависящие от условий резания (обрабатываемого материала, вида обработки и пр.) и даны в справочниках по резанию в виде таблиц;

t, s, v – глубина (мм), подача (мм/об) и скорость (м/мин) резания – независимые переменные величины.

Таким образом, составляющие силы резания являются функциями трех переменных.

Нагревание тела из неоднородного материала

Материал называется неоднородным, если его свойства различны в разных направлениях, например, его объемная плотность переменна, и в системе координат 0хyz ее можно представить как функцию трех переменных (x,y,z). При нагревании такого тела его температура Т изменяется с течением времени и будет различной в разных точках тела. Будем считать ее функцией четырех переменных: координат точки тела x, y, z и времени t. Т = f (x, y, z, t).

Дата добавления: 2014-01-11