В двоичной системе счисления основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр (0 и 1)

Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим.

Позиция цифры в числе называется разрядом.

В позиционных системах счисления основание системы равно количеству цифр (знаков в ее алфавите) и определяет, во сколько раз различаются значения одинаковых цифр, стоящих в соседних позициях числа.

Десятичная система счисления имеет алфавит цифр, который состоит из десяти

всем известных, так называемых арабских, цифр, и основание, равное 10, двоичная — две цифры и основание 2,

восьмеричная — восемь цифр и основание 8,

шестнадцатеричная — шестнадцать цифр (в качестве цифр используются и буквы латинского алфавита) и основание 16 (табл. 3).

Таблица 1.

Двоичные числа	Восьмеричные	Десятичные	Шестнадцатиричные
0	0	0	0
1	1	1	1
10	2	2	2
11	3	3	3
100	4	4	4
101	5	5	5
110	6	6	6
111	7	7	7
1000	10	8	8
1001	11	9	9
1010	12	10	A
1011	13	11	B
1100	14	12	C
1101	15	13	D
1110	16	14	E
1111	17	15	F

Таблица 2.

Степени двойки	Степени восьмерки	Степени шестнадцати
2°=1	8°=1	16°=1
2^1=2	8^1= 8	16^1=16
2^2 = 4	8^2=64	16^2 = 256
2^3 = 8	8^3 = 512	16 ^3=4096
2^4=16	8 ^4 = 4096
2^5=32
2^б = 64
2^7=128
2^8 = 256
2^9 = 526

Таблица 3. Позиционные системы счисления.

Систем счисления	Основание	Алфавит цифр
Десятичная		0, 1,2,3,4, 5,6,7, 8,9
Двоичная		0, 1
Восьмеричная		0, 1, 2,3,4, 5,6,7
Шестнадцатеричная		0, 1,2,3,4,5, 6,7, 8, 9, А (10), В (11), С(12), D(13), E(14), F(15)

Десятичная система счисления.

Рассмотрим в качестве примера десятичное число 555.

Цифра 5 встречается триж­ды, причем самая правая цифра 5 обозначает пять единиц, вторая справа — пять десятков и, наконец, третья справа — пять сотен.

В десятичной системе цифра, находящаяся в крайней справа позиции (разряде), обозначает количество единиц, цифра, смещенная на одну позицию влево, — количество десятков, еще левее — сотен, затем тысяч и так далее. Соответственно имеем разряд единиц, разряд десятков и так далее.

В развернутой форме записи числа такое умножение записывается в явной форме.

Так, в развернутой форме запись числа 555 в десятичной системе будет выглядеть следующим образом:

555₁₀ = 5·10² + 5·10¹ + 5·10⁰.

Для записи десятичных дробей используются отрицательные значения степеней основания. Например, число 555,55 в развернутой форме записывается следующим образом:

555,55₁₀ = 5·10²+ 5·10¹ + 5·10⁰+ 5·10^-1 + 5·10^-2

Умножение или деление десятичного числа на 10 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной, на один разряд соответственно вправо или влево. Например:

555,55₁₀ • 10 = 5555,5₁₀;

555,55₁₀: 10 = 55,555₁₀.

Двоичная система счисления.

Следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1.

Например, развернутая запись двоичного числа может выглядеть так:

А₂ = 1 · 2² + 0 · 2¹ + 1 · 2° + 0 · 2^-1 + 1 · 2^-2.

Свернутая форма этого же числа:

А₂ = 101,01₂.

Умножение или деление двоичного числа на 2 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд соответственно вправо или влево. Например:

101,01₂.· 2 = 1010,1₂;

101,01₂: 2 = 10,101₂.

Позиционные системы счисления с произвольным основанием. Возможно использование множества позиционных систем счисления, основание которых равно или больше 2. В системах счисления с основанием q (q-ичная система счисления) числа в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания q с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0, 1, q -1:

Коэффициенты а _i в этой записи являются цифрами числа,
записанного в q-ичной системе счисления.

Так, в восьмеричной системе основание равно восьми (q = 8).

Тогда записанное в свернутой форме восьмеричное число А₈ = 673,2₈

в развернутой форме будет иметь вид:

А₈ = 6·8² + 7·8¹ + 3·8° + 2·8^-1.

В шестнадцатеричной системе основание равно шестнадцати (q = 16), тогда записанное в свернутой форме шестнадцатеричное число А₁₆ = 8 A,F₁₆

в развернутой форме будет иметь вид:

А₁₆ = 8·16¹ + А·16° + F·16^-1.

Если выразить шестнадцатеричные цифры через их десятичные значения (А=10, F=15), то запись числа примет вид:

А₁₆ = 8·16¹ + 10·16⁰ + 15·16^-1.

Дата добавления: 2014-01-11