Целые числа со знаком

Добавление отрицательных значений приводит к появлению некоторых новых свойств. Ровно половина из всех 2^N чисел теперь будут отрицательными; учитывая необходимость нулевого значения, положительных будет на единицу меньше, т.е. допустимый диапазон значений оказывается принципиально несимметричным.

Для того, чтобы различать положительные и отрицательные числа, в двоичном представлении чисел выделяется знаковый разряд. По традиции для кодирования знака используется самый старший бит, причем нулевое значение в нем соответствует знаку "+", а единичное – минусу. Подчеркнем, что с точки зрения описываемой системы кодирования число ноль является положительным, т.к. все его разряды, включая и знаковый, нулевые.

Представление положительных чисел при переходе от беззнаковых чисел к целым со знаком сохраняется, за исключением того, что теперь для собственно числа остается на один разряд меньше. А вот о представлении отрицательных чисел обязательно надо поговорить подробнее.

Первое, что приходит в голову, это кодировать отрицательные значения точно так же, как и положительные, только добавлять в старший бит единицу. Подобный способ кодирования называется прямым кодом.

Несмотря на свою простоту и наглядность, для представления целых чисел он не получил применения в ЭВМ. Главной причиной является то, что, хотя сам код прост, действия над представленными в нем числами выполняются достаточно сложно. Поэтому для практической реализации кодирования отрицательных чисел используется другой метод, который и будет описан далее.

В его основе лежит запись отрицательных чисел в виде 2^N - |m|, где N, как обычно, количество двоичных разрядов, а m – значение числа. Поскольку фактически вместо числа теперь записывается его дополнение до некоторой характерной величины 2^N, то такой код назвали дополнительным.

Однако способ расчета, вытекающий непосредственно из определения, не слишком хорош, поскольку требует от конструкции процессора дополнительного разряда. Поэтому для практического получения кода отрицательных чисел используется следующий эквивалентный алгоритм. Для преобразования отрицательного числа в дополнительный код необходимо:

1. Модуль числа перевести в двоичную форму.

2. Проинвертировать каждый рахряд получившегося кода, т.е. заменит единицы нулями, а нули – единицами (полученный код называется обратным).

3. К обратному коду прибавить единицу.

Пример 1: Перевести число – 8 в двоичный 8 - разрядный код.

1. Возьмем модуль числа (8₁₀ = 1000₂) и дополним его до необходимого числа разрядов нулями слева: 0000 1000.

2. Теперь проинвертируем: 1111 0111.

3. Прибавим единицу. Получим окончательный ответ: 11111000

Для проверки правильности перевода можно сложить последнее число с исходным и убедиться в том, что результат будет нулевым (единицей переноса из старшего разряда, как обычно, пренебрегаем).

Проведем сопоставление целых чисел без знака и со знаком. Результат сравнения чисел со знаком и без него состоит в том, что общее количество их значений одинаково, но их диапазоны сдвинуты вдоль числовой оси.

Большая часть наших рассуждений была построена на базе 8 - разрядных чисел. Это ни в коей мере не ограничивает общности полученных выводов. Единственно, что достаточно сильно количественно зависит от числа разрядов N, так это граничные значения чисел Max и Min, значения которых приведены в примере.

Хотя дополнительный код гораздо менее наглядный, чем прямой, он позволяет значительно проще реализовать арифметические операции. Более того, наличие дополнительного кода позволяет упразднить действие вычитания, сводя его к сложению с дополнительным кодом вычитаемого.

Дата добавления: 2014-01-11