Звідси знайдемо

Наприклад, з першого рівняння системи (2) знайдемо

, звідки (4)

З другого рівняння системи (3) виразимо х₂ через х₃, замінюючи х₁ формулою (3) або (4)

a ₂ х ₁ + b ₂ x ₂ + c ₂ x ₃ = a ₂(A ₁ x ₂ + B ₁) + b ₂ x ₂ = d ₂

або х ₂ = А ₂ х ₃ + В ₂

, беручи за е ₂ = а ₂ А ₁ + b ₂

Запишемо:

Аналогічно для кожного і прогоночні коефіцієнти з рівняння х_і = А_іх_{і +1} + В_і мають вигляд:

(5)

е_і = а_іА_{і -1} + b_і;

При цьому враховуючи, що а ₁ = с_n = 0 приймаємо

А _о = 0; В _о = 0. (6)

В розгорнутому вигляді формула (5) буде мати вигляд формули (7). Значення прогоночних коефіцієнтів можна одержати і таким шляхом. В рівнянні (3) понизимо індекс на одиницю та підставимо значення х_{і -1} в і -е рівняння системи (1)

х_{і -1} = А_{і -1}∙ х_і + В_{і -1}

а_іх_{і -1} + b_ix_i + c_ix_{i +1} = d_i a_i (A_{i -1} x_i + B_{i -1}) + b_ix_i + c_ix_{i +1} = d_i

(7)

Обернений хід прогонки (аналог оберненого ходу методу Гауса).

Він полягає в послідовному обчисленні невідомих х_і. Спочатку знаходять х_n. Для цього формулу (7) запишемо при і = n (враховуючи, що C_n =0)

Долі використовуючи формулу (3) знаходимо послідовно всі невідомі x _{n -1}, x_n-2, …, x₁.

Майже у всіх задачах, що приводять до розв’язку системи (2) з трьохдіаго-нальною матрицею, забезпечується умова переважання діагональних коефіцієнтів

Це забезпечує існування єдиного розв’язку та достатню стійкість методу прогону відносно похибок заокруглення.

Для запису коефіцієнтів a_i, b_i, та прогоночних коефіцієнтів А_i-1, В_і-1 використати один і той же масив.

Дата добавления: 2014-01-11