Лекция 3. Формула полной вероятности и формула Байеса

Формула полной вероятности и формула Байеса. Схема и формула Бернулли. Приближение Пуассона для схемы Бернулли.

Определение 3.1. Пусть событие А может произойти только совместно с одним из событий Н ₁, Н ₂,…, Н_п, образующих полную группу несовместных событий. Тогда события Н ₁, Н ₂,…, Н_п называются гипотезами .

Теорема 3.1. Вероятность события А, наступающего совместно с гипотезами Н ₁, Н ₂,…, Н_п, равна:

(3.1)

где p (H_i) – вероятность i- й гипотезы, а p (A/H_i) – вероятность события А при условии реализации этой гипотезы. Формула (3.1) носит название формулы полной вероятности.

Доказательство.

Можно считать событие А суммой попарно несовместных событий АН ₁, АН ₂,…, АН_п. Тогда из теорем сложения и умножения следует, что

что и требовалось доказать.

Пример. Имеются три одинаковые урны с шарами. В первой из них 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 5 черных, в третьей – 10 черных шаров. Из случайно выбран-ной урны наудачу вынут шар. Найти вероятность того, что он белый.

Решение. Будем считать гипотезами Н ₁, Н ₂ и Н ₃ выбор урны с соответствующим номером. Так как по условию задачи все гипотезы равновозможны, то Найдем условную вероятность А при реализации каждой гипотезы:

Тогда

Дата добавления: 2014-01-11