Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Математическое ожидание. Основные числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин: математическое ожидание




Основные числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Их свойства и примеры.

Закон распределения (функция распределения и ряд распределения или плотность веро-ятности) полностью описывают поведение случайной величины. Но в ряде задач доста-точно знать некоторые числовые характеристики исследуемой величины (например, ее среднее значение и возможное отклонение от него), чтобы ответить на поставленный во-прос. Рассмотрим основные числовые характеристики дискретных случайных величин.

 

Определение 7.1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называ-ется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

М (Х) = х 1 р 1 + х 2 р 2 + … + хпрп. (7.1)

Если число возможных значений случайной величины бесконечно, то , если полученный ряд сходится абсолютно.

Замечание 1. Математическое ожидание называют иногда взвешенным средним, так как оно приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины при большом числе опытов.

Замечание 2. Из определения математического ожидания следует, что его значение не меньше наименьшего возможного значения случайной величины и не больше наибольше-го.

Замечание 3. Математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучай-ная (постоянная) величина. В дальнейшем увидим, что это же справедливо и для непре-рывных случайных величин.

 

Пример 1. Найдем математическое ожидание случайной величины Х – числа стандартных деталей среди трех, отобранных из партии в 10 деталей, среди которых 2 бракованных. Составим ряд распределения для Х. Из условия задачи следует, что Х может принимать значения 1, 2, 3. Тогда

Пример 2. Определим математическое ожидание случайной величины Х – числа бросков монеты до первого появления герба. Эта величина может принимать бесконечное число значений (множество возможных значений есть множество натуральных чисел). Ряд ее распределения имеет вид:

Х     п
р 0,5 (0,5)2 (0,5) п

 

Тогда ..+

+(при вычислении дважды использовалась формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , откуда ).

 

Свойства математического ожидания.

1) Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:

М (С) = С. (7.2)

Доказательство. Если рассматривать С как дискретную случайную величину, принимающую только одно значение С с вероятностью р = 1, то М (С) = С ·1 = С.

2) Постоянный множитель можно выносит за знак математического ожидания:

М (СХ) = С М (Х). (7.3)

Доказательство. Если случайная величина Х задана рядом распределения

xi x 1 x 2 xn
pi p 1 p 2 pn

 

то ряд распределения для СХ имеет вид:

Сxi Сx 1 Сx 2 Сxn
pi p 1 p 2 pn

 

Тогда М (СХ) = Сх 1 р 1 + Сх 2 р 2 + … + Схпрп = С (х 1 р 1 + х 2 р 2 + … + хпрп) = СМ (Х).

 

Определение 7.2. Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения приняла другая. В противном случае случайные величины зависимы.

 

Определение 7.3. Назовем произведением независимых случайных величин Х и Y случайную величину XY, возможные значения которой равны произведениям всех возможных значений Х на все возможные значения Y, а соответствующие им вероят-ности равны произведениям вероятностей сомножителей.

 

3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M (XY) = M (X) M (Y). (7.4)

Доказательство. Для упрощения вычислений ограничимся случаем, когда Х и Y принимают только по два возможных значения:

xi x 1 x 2
pi p 1 p 2

 

уi у 1 у 2
gi g 1 g 2

 

Тогда ряд распределения для XY выглядит так:

ХY x 1 y 1 x 2 y 1 x 1 y 2 x 2 y 2
p p 1 g 1 p 2 g 1 p 1 g 2 p 2 g 2

 

Следовательно, M (XY) = x 1 y 1· p 1 g 1 + x 2 y 1· p 2 g 1 + x 1 y 2· p 1 g 2 + x 2 y 2· p 2 g 2 = y 1 g 1(x 1 p 1 + x 2 p 2) + + y 2 g 2(x 1 p 1 + x 2 p 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 p 1 + x 2 p 2) = M (XM (Y).

 

Замечание 1. Аналогично можно доказать это свойство для большего количества возможных значений сомножителей.

Замечание 2. Свойство 3 справедливо для произведения любого числа независимых случайных величин, что доказывается методом математической индукции.

Определение 7.4. Определим сумму случайных величин Х и Y как случайную величину Х + Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным значением Y; вероятности таких сумм равны произведениям вероятностей слагаемых (для зависимых случайных величин – произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго).

 

4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин (зависимых или незави-симых) равно сумме математических ожиданий слагаемых:

M (X + Y) = M (X) + M (Y). (7.5)

Доказательство.

Вновь рассмотрим случайные величины, заданные рядами распределения, приведен-ными при доказательстве свойства 3. Тогда возможными значениями X + Y являются х 1 + у 1, х 1 + у 2, х 2 + у 1, х 2 + у 2. Обозначим их вероятности соответственно как р 11, р 12, р 21 и р 22. Найдем М (Х + Y) = (x 1 + y 1) p 11 + (x 1 + y 2) p 12 + (x 2 + y 1) p 21 + (x 2 + y 2) p 22 =

= x 1(p 11 + p 12) + x 2(p 21 + p 22) + y 1(p 11 + p 21) + y 2(p 12 + p 22).

Докажем, что р 11 + р 22 = р 1. Действительно, событие, состоящее в том, что X + Y примет значения х 1 + у 1 или х 1 + у 2 и вероятность которого равна р 11 + р 22, совпадает с событием, заключающемся в том, что Х = х 1 (его вероятность – р 1). Аналогично дока-зывается, что p 21 + p 22 = р 2, p 11 + p 21 = g 1, p 12 + p 22 = g 2. Значит,

M (X + Y) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = M (X) + M (Y).

Замечание. Из свойства 4 следует, что сумма любого числа случайных величин равна сумме математических ожиданий слагаемых.

 

Пример. Найти математическое ожидание суммы числа очков, выпавших при броске пяти игральных костей.

Найдем математическое ожидание числа очков, выпавших при броске одной кости:

М (Х 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)Тому же числу равно математическое ожидание числа очков, выпавших на любой кости. Следовательно, по свойству 4 М (Х)=

 

Дисперсия.

 

Для того, чтобы иметь представление о поведении случайной величины, недостаточно знать только ее математическое ожидание. Рассмотрим две случайные величины: Х и Y, заданные рядами распределения вида

Х      
р 0,1 0,8 0,1
Y    
p 0,5 0,5

 

Найдем М (Х) = 49·0,1 + 50·0,8 + 51·0,1 = 50, М (Y) = 0·0,5 + 100·0,5 = 50. Как видно, мате-матические ожидания обеих величин равны, но если для Х М (Х) хорошо описывает пове-дение случайной величины, являясь ее наиболее вероятным возможным значением (при-чем остальные значения ненамного отличаются от 50), то значения Y существенно отсто-ят от М (Y). Следовательно, наряду с математическим ожиданием желательно знать, на-сколько значения случайной величины отклоняются от него. Для характеристики этого показателя служит дисперсия.

Определение 7.5. Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математи-ческое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания:

D (X) = M (X – M (X))². (7.6)

Пример.

Найдем дисперсию случайной величины Х (числа стандартных деталей среди отобранных) в примере 1 данной лекции. Вычислим значения квадрата отклонения каждого возможно-го значения от математического ожидания:

(1 – 2,4)2 = 1,96; (2 – 2,4)2 = 0,16; (3 – 2,4)2 = 0,36. Следовательно,

 

Замечание 1. В определении дисперсии оценивается не само отклонение от среднего, а его квадрат. Это сделано для того, чтобы отклонения разных знаков не компенсировали друг друга.

Замечание 2. Из определения дисперсии следует, что эта величина принимает только неотрицательные значения.

Замечание 3. Существует более удобная для расчетов формула для вычисления дисперсии, справедливость которой доказывается в следующей теореме:

 

Теорема 7.1. D (X) = M (X ²) – M ²(X). (7.7)

Доказательство.

Используя то, что М (Х) – постоянная величина, и свойства математического ожидания, преобразуем формулу (7.6) к виду:

D (X) = M (X – M (X))² = M (X ² - 2 X·M (X) + M ²(X)) = M (X ²) – 2 M (XM (X) + M ²(X) =

= M (X ²) – 2 M ²(X) + M ²(X) = M (X ²) – M ²(X), что и требовалось доказать.

 

Пример. Вычислим дисперсии случайных величин Х и Y, рассмотренных в начале этого раздела. М (Х) = (492·0,1 + 502·0,8 + 512·0,1) – 502 = 2500,2 – 2500 = 0,2.

М (Y) = (02·0,5 + 100²·0,5) – 50² = 5000 – 2500 = 2500. Итак, дисперсия второй случайной величины в несколько тысяч раз больше дисперсии первой. Таким образом, даже не зная законов распределения этих величин, по известным значениям дисперсии мы можем утверждать, что Х мало отклоняется от своего математического ожидания, в то время как для Y это отклонение весьма существенно.

 

Свойства дисперсии.

 

1) Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

D (C) = 0. (7.8)

Доказательство. D (C) = M ((C – M (C))²) = M ((C – C)²) = M (0) = 0.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

D (CX) = C ² D (X). (7.9)

Доказательство. D (CX) = M ((CX – M (CX))²) = M ((CX – CM (X))²) = M (C ²(X – M (X))²) =

= C ² D (X).

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D (X + Y) = D (X) + D (Y). (7.10)

Доказательство. D (X + Y) = M (X ² + 2 XY + Y ²) – (M (X) + M (Y))² = M (X ²) + 2 M (X) M (Y) +

+ M (Y ²) – M ²(X) – 2 M (X) M (Y) – M ²(Y) = (M (X ²) – M ²(X)) + (M (Y ²) – M ²(Y)) = D (X) + D (Y).

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной и случайной величин равна дисперсии случайной величины.

4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D (X – Y) = D (X) + D (Y). (7.11)

Доказательство. D (X – Y) = D (X) + D (- Y) = D (X) + (-1)² D (Y) = D (X) + D (X).

 

Дисперсия дает среднее значение квадрата отклонения случайной величины от среднего; для оценки самого отклонения служит величина, называемая средним квадратическим отклонением.

Определение 7.6. Средним квадратическим отклонением σ случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

. (7.12)

Пример. В предыдущем примере средние квадратические отклонения Х и Y равны соответственно

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 487; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.045 сек.