Собственные числа и собственные векторы матрицы

Определение 9.3. Вектор х называется собственным вектором матрицы А, если найдется такое число λ, что выполняется равенство: А х = λ х, то есть результатом применения к х линейного преобразования, задаваемого матрицей А, является умножение этого вектора на число λ. Само число λ называется собственным числом матрицы А.

Подставив в формулы (9.3) x`_j = λx_j, получим систему уравнений для определения координат собственного вектора:

.

Отсюда

. (9.5)

Эта линейная однородная система будет иметь нетривиальное решение только в случае, если ее главный определитель равен 0 (правило Крамера). Записав это условие в виде:

получим уравнение для определения собственных чисел λ, называемое характеристическим уравнением. Кратко его можно представить так:

| A - λE | = 0, (9.6)

поскольку в его левой части стоит определитель матрицы А-λЕ. Многочлен относительно λ | A - λE | называется характеристическим многочленом матрицы А.

Свойства характеристического многочлена:

1) Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса. Доказательство. (см. (9.4)), но следовательно, . Таким образом, не зависит от выбора базиса. Значит, и | A-λE | не изменяется при переходе к новому базису.

2) Если матрица А линейного преобразования является симметрической (т.е. а_ij=a_ji), то все корни характеристического уравнения (9.6) – действительные числа.

Свойства собственных чисел и собственных векторов:

1) Если выбрать базис из собственных векторов х₁, х₂, х₃, соответствующих собственным значениям λ₁, λ₂, λ₃ матрицы А, то в этом базисе линейное преобразование А имеет матрицу диагонального вида:

(9.7) Доказательство этого свойства следует из определения собственных векторов.

2) Если собственные значения преобразования А различны, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы.

3) Если характеристический многочлен матрицы А имеет три различных корня, то в некотором базисе матрица А имеет диагональный вид.

Пример.

Найдем собственные числа и собственные векторы матрицы Составим характеристическое уравнение: (1- λ)(5 - λ)(1 - λ) + 6 - 9(5 - λ) - (1 - λ) - (1 - λ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ ₁ = -2, λ ₂ = 3, λ ₃ = 6.

Найдем координаты собственных векторов, соответствующих каждому найденному значению λ. Из (9.5) следует, что если х ₍₁₎ ={ x₁,x₂,x₃ } – собственный вектор, соответствующий λ ₁=-2, то

- совместная, но неопределенная система. Ее решение можно записать в виде х ₍₁₎ ={ a,0,- a }, где а – любое число. В частности, если потребовать, чтобы | x ₍₁₎ |=1, х ₍₁₎ =

Подставив в систему (9.5) λ ₂=3, получим систему для определения координат второго собственного вектора - x ₍₂₎ ={ y₁,y₂,y₃ }:

, откуда х ₍₂₎ ={ b,-b,b } или, при условии | x ₍₂₎ |=1, x ₍₂₎ =

Для λ ₃ = 6 найдем собственный вектор x ₍₃₎ ={ z₁, z₂, z₃ }:

, x ₍₃₎ ={ c, 2c,c } или в нормированном варианте

х ₍₃₎ = Можно заметить, что х ₍₁₎ х ₍₂₎ = ab – ab = 0, x ₍₁₎ x ₍₃₎ = ac – ac = 0, x ₍₂₎ x ₍₃₎ = bc - 2 bc + bc = 0. Таким образом, собственные векторы этой матрицы попарно ортогональны.

Дата добавления: 2014-01-11