КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Многочлен Ньютона с конечными разностями
Рассмотрим случай равноотстоящих узлов интерполяции, т. е. – называется шагом. Введем понятие конечных разностей. Пусть известны значения функции в узлах . Составим разности значений функции:
Эти разности называются разностями первого порядка. Можно составить разности второго порядка: .
Аналогично составляются разности k-го порядка: .
Выразим конечные разности непосредственно через значение функции: Таким образом, для любого k можно записать: Запишем эту формулу для значений разности в узле : . Используя конечные разности, можно определить . Перейдем к построению интерполяционного многочлена Ньютона. Этот многочлен будем искать в виде
График многочлена должен проходить через заданные узлы, то есть . Используем эти условия для нахождения коэффициентов многочлена: Найдем отсюда коэффициенты : Таким образом, для любого -го коэффициента формула примет вид . Подставляя эти формулы в выражение многочлена Ньютона, получим его следующий вид: Полученную формулу можно записать в другом виде. Для этого введем переменную .
В этом случае С учетом этих соотношений формулу многочлена Ньютона можно записать в виде . Полученное выражение может аппроксимировать данную функцию на всем отрезке изменения аргумента . Однако более целесообразно (с точки зрения повышения точности расчетов и уменьшения числа слагаемых в полученой формуле) ограничиться случаем , то есть использовать эту формулу для всех . Для других случаев вместо принять , если при . В этом случае интерполяционный многочлен можно записать в виде Полученная формула называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполяции вперед. Эту интерполяционную формулу обычно используют для вычисления значений функции в точках левой половины рассматриваемого отрезка. Это объясняется следующим: разности вычисляются через значения функции , причем . Из-за этого при больших значениях мы не можем вычислить высших порядков .
Для правой половины рассматриваемого отрезка разности лучше вычислять справа налево. В этом случае , то есть , и интерполяционный многочлен Ньютона можно получить в виде: . Полученная формула называется вторым интерполяционным многочленом назад. Пример. Используя интерполяционный полином Ньютона, вычислить , где функция задана таблицей
Решение. Составляем таблицу конечных разностей.
Для вычисления положим в интерполяционном многочлене Ньютона вперед тогда и Пример. Задана таблица. Найти .
При вычислении положим . При вычислении положим . Оценим погрешности формул Ньютона вперед и назад: где и где . Формулы приближенного дифференцирования основаны на первой интерполяционной формуле Ньютона. Интерполяционный многочлен Ньютона имеет вид , где Производя перемножение биномов, получим
так как , то
Аналогично можно вычислять производные функции любого порядка. В некоторых случаях требуется находить производные функций в основных табличных точках . Так как табличное значение можно считать за начальное, то положив , имеем , Для производной многочлена Ньютона первого порядка погрешность может быть вычислена по формуле , где – число конечных разностей в многочлене Ньютона. Пример. Найти функции , заданной таблично.
Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 474; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |