КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Вычисление собственных значений матрицы Методом Данилевского
Решение.
Здесь ; . Вычисляя погрешность, получим: .
Действительно, . Таким образом, результаты совпадают до четвертого знака. Сущность метода Данилевского заключается в том, что исходная матрица А: после преобразования подобия приводится к матрице Фробениуса Р: , то есть , где – неособенная матрица. Так как подобные матрицы обладают одинаковыми характеристическими полиномами, то имеем: . Вначале нужно строку привести в строку . Предполагая, что , разделим все элементы – го столбца матрицы А на . Тогда её -ая строка примет вид . Затем вычтем - й столбец преобразованной матрицы, умноженный соответственно на числа , из всех остальных ее столбцов. В результате получим матрицу, последняя строка которой имеет желаемый вид 0 0 … 1 0. Произведя те же операции над единичной матрицей, получим матрицу , где при . (1) . (1') Эти операции равносильны умножению справа матрицы на матрицу А. , (2) где при , при . (2') Для подобия матриц нужно умножить полученную матрицу на слева: . Очевидно, обратная матрица имеет вид . Обозначим , то есть ,
где (3) при , (3') то есть полученная матрица С подобна матрице А. Продолжая этот процесс, получим матрицу Фробениуса. , если все промежуточных преобразований возможны. Пример. Привести к виду Фробениуса матрицу: . Решение. Вычисления будем располагать в таблице 4. В строках 1–4 помещаем элементы данной матрицы и контрольные суммы в . Элемент . В строке I записываем элементы третьей строки матрицы , вычисляемые по формулам (1), (1'):
, , , . Сюда же помещаем элемент . Число -3,375 должно совпасть с элементами строки I, не входящими в контрольный столбец (после замены элемента на -1). В строках 5–8 в графе выписываем третью строку матрицы , которая совпадает с четвертой строкой исходной матрицы А. В строках 5–8 в соответствующих столбцах выписываем элементы матрицы , вычисляемые по формулам (2), (2'):
Преобразованные элементы третьего столбца получаются с помощью умножения исходных элементов на . Например, Таблица 4
Соответственно, последняя строка матрицы В имеет вид (0 0 1 0). Для контроля пополним матрицу В преобразованными по аналогии элементами: Полученные результаты записываем в столбце Σ/ . Прибавив к ним элементы третьего столбца, будем иметь контрольные суммы: для строк 5–8 (столбец Σ). Преобразование , произведенное над матрицей В и дающее матрицу , изменяет лишь третью строку матрицы В, то есть седьмую строку таблицы. Элементы строки получаются по формулам (3), (). Например:
. Те же преобразования проводим над столбцом Σ: . В результате получаем матрицу С, состоящую из строк 5, 6, , 8 с контрольными суммами Σ. Далее, приняв матрицу С за исходную и выделив элемент , продолжим процесс аналогичным образом. Таким образом, матрица Фробениуса имеет вид Отсюда, решая уравнение , найдем собственные значения исходной матрицы. 6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. Заменим график функции на отрезке , , , параболой, проведенной через точки , , где – середина отрезка . Эта парабола есть интерполяционный многочлен второй степени с узлами . Нетрудно убедиться, что уравнение этой параболы имеет вид: , где . Проинтегрировав эту функцию на отрезке , получим . Суммируя полученные выражение по , получим квадратурную формулу Симпсона (или формулу парабол): . Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы Симпсона воспользуемся следующей теоремой. Теорема. Пусть функция имеет на отрезке непрерывную производную четвертого порядка . Тогда для формулы Симпсона справедлива следующая оценка погрешности: , где . Замечание. Если число элементарных отрезков, на которые делится отрезок , четно, т.е. , то параболы можно проводить через узлы с целыми индексами, и вместо элементарного отрезка длины рассматривать отрезок длины . Тогда формула Симпсона примет вид: , а вместо последней оценки будет справедлива следующая оценка погрешности: .
Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 474; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |