Условия независимости КРИ от формы пути интегрирования

Опр. 1. Если значение КРИ остается одним и тем же по всем возможным гладким кривым, которые лежат в данной области Д и соединяют конечные точки кривой интегрирования, то говорят, что КРИ не зависит от формы пути интегрирования.

Независимость КРИ от формы пути интегрирования обозначают: , где С(А,В) значение КРИ, которое зависит только от расположения точек А и В.

Теорема 6.3. (Необходимое и достаточное условие независимости КРИ от формы пути интегрирования): для того чтобы КРИ в области Д независил от формы пути интегрирования необходимо и достаточно чтобы в каждой точке области Д выполнялось условие:

(1)

Докажем достаточность этой теоремы

Рассмотрим в области Д произвольный замкнутый контур Г^I, проходящий через точки А и В. Запишем для данного контура формулу Грина

Последнее равенство и означает, что КРИ не зависит от формы пути интегрирования, чтд.

Для пространственного интеграла КРИ: , где АВ – пространственная кривая во всех точках которой Р = Р(x,y,z), Q = Q(x,y,z), R = R(x,y,z) непрерывны вместе со своими ЧП, Условие независимости КРИ запишется следующим образом , , .

Из теории функции нескольких переменных известно, что полный дифференциал (ПД) функции U = U(x,y) имеет вид: .

Теорема 6.4. (критерий полного дифференциала (ПД)):

Выражение Pdx + Qdy в области Д представляет собой ПД некоторой функции U = U(x,y) тогда и только тогда, когда во всех точках области Д выполняется условие:

Докажем необходимость

(2)

По определению

По условию

Т.к. по условию теоремы функции и - непрерывны, то будут непрерывны и и , тогда по теореме о равенстве смешанных производных имеет , чтд.

Теорема 6.5. (условие независимости КРИ II рода от формы пути интегрирования на языке полного дифференциала)

Для того чтобы КРИ не зависит от формы пути интегрирования в области Д, в которой функции и непрерывны вместе со своими ЧП, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой области выражение Pdx + Qdy являлось ПД функции U = U(x,y).

Доказательство этой теоремы вытекает из теоремы 6.1 и 6.2.

Покажем, что если КРИ не зависит от формы пути интегрирования, которая соединяет точки А и В, то его значение равно разности значений функции U(x,y) в точках В и А для которой выражение Pdx + Qdy = ПД.

(4) – обобщенная формула Ньютона Лейбница для КРИ – от полного дифференциала.

.

Чтобы найти функцию U = U(x,y), по ее ПД du = Pdx + Qdy, где , поступают следующим образом: интегрируют du по ломаной звенья которой параллельны осям координат и которая соединяет произвольную фиксированную точку А с координатами А(x₀,y₀) и произвольную точку M(x,y).

1). (5)

Дата добавления: 2014-01-11