О существов.ИФКП)

1)Дуга L-гладкая

2)w=f(z) непрерывна на L,то существует конечный предел инт. суммы(1),т.е ФКП и этот предел не зависит от способа разбиения дуги L на части и выбора точек на них для составления инт.суммы.

Осн. св-ва ФКП:

1)

2)(при изменении пути инт. знак инт.меняется)

3)

4)

5)(если разбить дугу АВ точкой М по середине)

6)ИФКП по замкнутому контуру С не зависит от выбора точки с которой начинается обход контура.

Теорема 19.3 (теор. Коши)

Если ф-я w=f(z) аналитична в обл.Д, то интеграл от нее по любому замкнутому контуру С, лежащему внутри обл.Д равен 0.

,()

Док-во: (),

Также выполн. услов.КРЭДА: ;

Согласно (3) инт. по замкнутому контуру:

I2- доказывается аналогично, отсюда:

+i0=0, ч.т.д.

Следствие:если ф. f(z) аналитична в обл.Д,то инт. от нее не зависит от формы кривой интегрирования, и его значение опред. только начальной точкой А и конечной т.В.Иными словами ИФКП от аналитичной ф-ции сохраняет постоянное значение по всем дугам лежащих внутри обл. Д, то независимо от того аналитическая она или нет выч. инт. Сводится к выч. двух КРИ от двух действительных ф-й 2х действ.переменных по ф-ле (3),при выч.инт.значительно упрощается если исходить из параметрического задания инт.:

L=АВ:

Тогда ур-е:

z(t)=x(t)+iy(t) – наз.: комплексного параметрического ур-нием кривой L.

Параметрич. ур-я окружности с центром в т. (х₀,у₀) и радиусом R имеет вид:

x=x₀+R cost

y=y₀+R sint,

ТогдаZ(t)=x₀+Rcost+i(y₀+Rsint)=(x₀+iy₀)+R(cost+isint)=z₀+ +R(cost+isint)=z₀+Re^it-комплексно параметрическое ур-ние окружности.Переход от ИФКП к КРИ осущ. по ф-ле:

(6)

Если же подинтегральная ф-я f(z) аналитична в обл.Д,то как и при интегрировании ф-ции действит.аргумента имеют место те же методы:

1)ф-ла Ньютона –Лейбница

,

где z_a, z_b- к/ч соотв. т.А и В кривой L.

2)метод инт. по частям:

3)метод замены переменой или подстановки:

, где

Z=g(w)-аналит.ф-я которая отображает кривую L пл-ти z в кривой L, в пл-ти Д.

Дата добавления: 2014-01-11