Предел функции нескольких переменных

Определение предела функции нескольких переменных по Коши на языке «». Число b называется пределом функции при , , если для любого e больше нуля существует такое d, зависящее от e, что если х принадлежит d-окрестности , y принадлежит d-окрестности , то значение функции принадлежит e-окрестности числа b.

С помощью кванторов данное определение можно записать так

, Þ

.

Множество точек плоскости Oxy, удовлетворяющее неравенству

,

называется e-окрестностью точки .

Записывают , где - расстояние между точками и М, .

Учитывая это, определение предела функции можно записать следующим образом

.

Можно также записать по другому,

.

Определение предела функции нескольких переменных при имеет вид

.

Нахождение пределов функций нескольких переменных сводится к нахождению пределов функций одной переменной.

Пример 3.2. Найти предел .

Сделаем замену переменной, получим предел функции одной переменной и применим правило Лопиталя.

.

Пример 3.3. Показать, что не существует.

Найдем этот предел при двух способах стремления к .

1. Если , а , то .

2. Если , а , то .

При различных способах стремления точки к точке предел имеет различные значения, следовательно, он не существует.

Дата добавления: 2014-01-11